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课时跟踪检测(四十七)系统题型圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 A级保分题准做快做达标1(2019昆明模拟)若点A,B在圆O:x2y24上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是()Axy0Bxy0Cxy20 Dxy20解析:选D因为直线OD的斜率kOD1,所以直线AB的斜率kAB1,所以直线AB的方程是y1(x1),即xy20,故选D.2(2019湖北七校联考)若圆O1:x2y25与圆O2:(xm)2y220相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是()A3 B4C2 D8解析:选B由题意知O1(0,0)与O2(m,0),根据圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得|m|3.再根据题意可得O1AAO2,m252025,m5,52,解得|AB|4.故选B.3(2019四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时,直线axya10与圆x2y22x2yb0都相交,则实数b的取值范围为()A(,2) B(2,)C(,6) D(6,)解析:选Cx2y22x2yb0表示圆,2b0,即b2.直线axya10过定点(1,1),点(1,1)在圆x2y22x2yb0的内部,6b0,解得b6.综上,实数b的取值范围是(,6)故选C.4(2019重庆一中模拟)若圆x2y22x6y60上有且仅有三个点到直线xay10的距离为1,则实数a的值为()A1 BC D解析:选B由题知圆的圆心坐标为(1,3),半径为2,由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1,故圆心(1,3)到直线xay10的距离为1,即1,解得a.5(2019昆明高三质检)已知直线l:yxm与圆C:x2(y3)26相交于A,B两点,若ACB120,则实数m的值为()A3或3 B32或32C9或3 D8或2解析:选A由题知圆C的圆心为C(0,3),半径为,取AB的中点为D,连接CD,则CDAB,在ACD中,AC,ACD60,所以CD,由点到直线的距离公式得,解得m3,故选A.6(2019陕西渭南模拟)已知ABC的三边长为a,b,c,且满足直线axby2c0与圆x2y24相离,则ABC是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D以上情况都有可能解析:选C由已知得圆心(0,0)到直线axby2c0的距离d2,所以c2a2b2,在ABC中,cos C0,所以C为钝角,故ABC为钝角三角形7(2019武汉模拟)若直线2xym0过圆x2y22x4y0的圆心,则m的值为_解析:圆x2y22x4y0可化为(x1)2(y2)25,圆心为(1,2),则直线2xym0过圆心(1,2),故22m0,得m0.答案:08(2019成都摸底)已知圆C:x2y22x4y10上存在两点关于直线l:xmy10对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则|MP|_.解析:圆C:x2y22x4y10的圆心为C(1,2),半径为2.因为圆上存在两点关于直线l:xmy10对称,所以直线l:xmy10过点(1,2),所以12m10,解得m1,所以|MC|213,|MP|3.答案:39(2019广西两市联考)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得的弦长为2,则圆C的标准方程为_解析:设圆心为(a,b)(a0,b0),半径为r,则由题可知a2b,ar,r2b23,解得ar2,b1,所以所求的圆的方程为(x2)2(y1)24.答案:(x2)2(y1)2410(2019广东佛山一中检测)已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)(1)写出圆C的标准方程;(2)过点P(2,1)作圆C的切线,求该切线的方程及切线长解:(1)由题意知,圆C的半径r,所以圆C的标准方程为(x1)2(y2)22.(2)由题意知切线斜率存在,故设过点P(2,1)的切线方程为y1k(x2),即kxy2k10,则,所以k26k70,解得k7或k1,故所求切线的方程为7xy150或xy10.由圆的性质易得所求切线长为2.11(2017全国卷)已知抛物线C:y22x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,2),求直线l与圆M的方程解:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:xmy2.由可得y22my40,则y1y24.又x1,x2,故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m,x1x2m(y1y2)42m24,故圆心M的坐标为(m22,m),圆M的半径r.由于圆M过点P(4,2),因此0,故(x14)(x24)(y12)(y22)0,即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)知y1y24,x1x24.所以2m2m10,解得m1或m.当m1时,直线l的方程为xy20,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时,直线l的方程为2xy40,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为22.B级难度题适情自主选做1(2019成都名校联考)已知直线axbyc0与圆O:x2y21相交于A,B两点,且|AB|,则的值是()A BCD0解析:选A在OAB中,|OA|OB|1,|AB|,可得AOB120,所以11cos 120.2(2019天津南开中学月考)若3a23b24c20,则直线axbyc0被圆O:x2y21所截得的弦长为()A.B1C. D解析:选B因为a2b2c2,所以圆心O(0,0)到直线axbyc0的距离d,所以直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为221,选B.3(2019贵州安顺摸底)已知圆C:x2(ya)24,点A(1,0)(1)当过点A的圆C的切线存在时,求实数a的取值范围;(2)设AM,AN为圆C的两条切线,M,N为切点,当|MN|时,求MN所在直线的方程解:(1)过点A的切线存在,即点A在圆外或圆上,1a24,a或a,即实数a的取值范围为(, ,)(2)设MN与AC交于点D,O为坐标原点|MN|,|DM|.又|MC|2,|CD| ,cosMCA,|AC|,|OC|2,|AM|1.MN是以点A为圆心,1为半径的圆A与圆C的公共弦,圆A的方程为(x1)2y21,圆C的方程为x2(y2)24或x2(y2)24,MN所在直线的方程为(x1)2y21x2(y2)240,即x2y0,或(x1)2y21x2(y2)240,即x2y0,因此MN所在直线的方程为x2y0或x2y0.
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