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人教版初中数学2019学年直线、射线、线段(提高)知识讲解 【学习目标】1理解直线、射线、线段的概念,掌握它们的区别和联系;2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题;3利用线段的和差倍分解决相关计算问题【要点梳理】要点一、直线1概念:直线是最简单、最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念,直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述2. 表示方法:(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示,如图1所示,可表示为直线AB(或直线BA) (2)也可以用一个小写英文字母表示,如图2所示,可以表示为直线 3.基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线简单说成:两点确定一条直线要点诠释:直线的特征:(1)直线没有长短,向两方无限延伸(2)直线没有粗细(3)两点确定一条直线(4)两条直线相交有唯一一个交点4.点与直线的位置关系:(1)点在直线上,如图3所示,点A在直线m上,也可以说:直线m经过点A(2)点在直线外,如图4,点B在直线n外,也可以说:直线n不经过点B要点二、线段1.概念:直线上两点和它们之间的部分叫做线段2.表示方法:(1)线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示,如图所示,记作:线段AB或线段BA(2)线段也可用一个小写英文字母来表示,如图5所示,记作:线段a3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法:法一:用圆规作一条线段等于已知线段例如:下图所示,用圆规在射线AC上截取ABa法二:用刻度尺作一条线段等于已知线段例如:可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段4.基本性质:两点的所有连线中,线段最短简记为:两点之间,线段最短如图6所示,在A,B两点所连的线中,线段AB的长度是最短的图6要点诠释:(1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短(2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离(3)线段的比较:度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短叠合法:利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短5.线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点如图7所示,点C是线段AB的中点,则,或AB2AC2BC图7要点诠释:若点C是线段AB的中点,则点C一定在线段AB上要点三、射线1.概念:直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点如图8所示,直线l上点O和它一旁的部分是一条射线,点O是端点图82.特征:是直的,有一个端点,不可以度量,不可以比较长短,无限长3.表示方法:(1)可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线上除端点外的任意一点,端点写在前面,如图8所示,可记为射线OA (2)也可以用一个小写英文字母表示,如图8所示,射线OA可记为射线l要点诠释: (1)端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线如图9中射线OA,射线OB是不同的射线图9(2)端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线图10要点四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系(1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系在直线上任取一点,则可将直线分成两条射线;在直线上取两点,则可将直线分为一条线段和四条射线(2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段一方延伸就得到射线;将线段向两方延伸就得到直线2三者的区别如下表要点诠释:(1) 联系与区别可表示如下:(2)在表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样【典型例题】类型一、有关概念1.如图所示,指出图中的直线、射线和线段【思路点拨】从图上看,A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点,也就是说,A、D、F三点的位置并不是完全确定的此时,我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了【答案与解析】解:直线有一条:直线AD; 射线有六条:射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF;线段有三条:线段BC、线段BE、线段CE【总结升华】在表示线段和直线时,两个大写字母的顺序可以颠倒然而,在叙述线段的延长线的时候,表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了,因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了),而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的,只能用第一个字母表示射线的端点,第二个字母表示射线方向上的任一点举一反三:【高清课堂:直线、射线、线段397363 拓展4】【变式】两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明. 【答案】解: 过两点有且只有一条直线.(或两点确定一条直线.)两条不同的直线,要么有一个公共点,如图(1);要么没有公共点,如图(2);不能有两个公共点.类型二、有关作图2如图(1)所示,已知线段a,b(ab),画一条线段,使它等于2a-2b【答案与解析】解:如图(2)所示:(1)作射线AF;(2)在射线AF上顺次截取ABBCa;(3)在线段AC上顺次截取ADDEb,则线段EC就是所要求作的线段【总结升华】用尺规作图时,要熟悉常用的画图语言,注意保留作图痕迹举一反三:【变式1】下列说法正确的有 ( )射线与其反向延长线成一条直线;直线a、b相交于点m;两直线相交于两个交点;直线A与直线B相交于点MA3个 B2个 C1个 D4个【答案】 C【变式2】下列说法中,正确的个数有( )已知线段a,b且a-bc,则c的值不是正的就是负的;已知平面内的任意三点A,B,C则AB+BCAC;延长AB到C,使BCAB,则AC2AB;直线上的顺次三点D、E、F,则DE+EFDF A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C类型三、个(条)数或长度的计算3. 根据题意,完成下列填空如图所示,与是同一平面内的两条相交直线,它们有1个交点,如果在这个平面内,再画第3条直线,那么这3条直线最多有_个交点;如果在这个平面内再画第4条直线,那么这4条直线最多可有_个交点由此我们可以猜想:在同一平面内,6条直线最多可有_个交点,n(n为大于1的整数)条直线最多可有_个交点(用含有n的代数式表示)【答案】3, 6, 15, .【解析】本题探索过程要分两步:首先要填好3条直线最多可有2+13个交点,再类推4条直线,5条直线,6条直线的情形所得到的和式,其次再研究这些和式的规律,得出一般性的结论【总结升华】n(n为大于1的整数)条直线的交点最多可有:个举一反三:【变式1】平面上有个点,最多可以确定 条直线 【答案】【变式2】一条直线有个点,最多可以确定 条线段, 条射线【答案】,【高清课堂:直线、射线、线段397363 拓展 1(4)】【变式3】一个平面内有三条直线,会出现几个交点? 【答案】0个,1个,2个,或3个.4. 已知线段AB14cm,在直线AB上有一点C,且BC4cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长【思路点拨】题目中只说明了A、B、C三点在同一直线上,无法判定点C在线段AB上,还是在线段AB外(也就是在线段AB的延长线上)所以要分两种情况求线段AM的长【答案与解析】解:当点C在线段AB上时,如图所示 因为M是线段AC的中点, 所以 又因为ACAB-BC,AB14cm,BC4cm, 所以当点C在线段AB的延长线上时,如图所示 因为M是线段AC的中点, 所以 又因为ACAB+BC,AB14cm,BC4cm, 所以9(cm) 所以线段AM的长为5cm或9cm【总结升华】在解答没有给出图形的问题时,一定要审题,要全面考虑所有可能的情况,即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时,就要分类讨论举一反三:【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示,数轴上线段AB2(单位长度),CD4(单位长度),点A在数轴上表示的数是-10,点C在数轴上表示的数是16若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动 (1)问运动多少秒时,BC8(单位长度) (2)当运动到BC8(单位长度)时,点B在数轴上表示的数是_ (3)P是线段AB上一点,当B点运动到线段CD上时,是否存在关系式若存在,求线段PD的长;若不存在,请说明理由【答案】解:(1) 点B在数轴上表示的数是-8,设运动t秒时,BC8(单位长度),则: 当点B在点C的左边时, 6t+8+2t24 t2(秒) 当点B在点C的右边时, 6t-8+2t24 t4(秒) 答:当t等于2秒或4秒时,BC8(单位长度)(2) 由(1)知:当t2(秒)时,B点坐标为:-8+6t=8+62=4(单位长度)当t4(秒)时,B点坐标为:-8+6t=8+64=16(单位长度) 所以答案为:4或16 (3) 存在,若存在,则有:BDAP+3PC,设运动时间为t(秒),则: 1当t3时,点B与点C重合,点P在线段AB上,OPC2且BDCD4, AP+3PCAB+2PC2+2PC 所以:2+2PC=4,解得:PC1 此时, PD5 2当时,点C在点A与点B之间,OPC2 点P在线段AC上时 BDCD-BC4-BC AP+3PCAC+2PCAB-BC+2PC2-BC+2PC 由4-BC=2-BC+2PC, 可得: PC1, 此时PD5 点P在线段BC上时 BDCD-BC4-BC, AP+3PCAC+4PCAB-BC+4PC2-BC+4PC由4-BC=2-BC+4PC,可得:,此时3当时,点A与在点C重合,0PC2BDCD-AB2,AP+3PC4PC由24PC,可得:,此时4当时,0PC4BDCDBC4BC,AP+3PCAB-BC+4PC2-BC+4PC由4BC=2-BC+4PC,可得:,此时 综上可得:存在此关系式,且PD的长为5或.类型四、路程最短问题5. 如图所示,某公司员工分别住A、B、C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人三个区在同一条直线上,该公司的接送车打算在此间设一个停靠点,为使所有员工步
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