内切球和外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题， 是立体几何的一个重点，也是高考 考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运 用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半 径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1 （2006年广东高考题）若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表 面积为.解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 2n所以球的半径为品. 故该球的体积为43 .2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为32,3,则此球的表面积为解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 何 故球的表面积为14 .4,体积为16,例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为则这个球的表面积为（）.A. 16 B. 20 C. 24 D. 32解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此，长方体的长、宽、高分别为2, 2, 4,于是等同于例3,故选C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ,底面周长为3 ,则这个球的体积为6x 3,9.32.6 x h,解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有841x 2,h 3.正六棱柱的底面圆的半径12 ,球心到底面的距离d *d2.，外接球的半径R .r2 d21,.一一 22小结本题是运用公式R r2d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式再设出球们更想使快联想到所以可构二、构造法（补形法）1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为百，则其 外接球的表面积是.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我 用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直， 使我们很 长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等， 造正方体模型，如图1,则AC=BC=CD 石，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是 9 .（如图1）例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为四，则其外接球的表面积是解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长 为右的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球直,一个外接设其外接球的半径为R,则有2R 2 J3 23 2. 3 29 R 9.一 4 .故其外接球的表面积S 4 R2 9 .小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂且其长度分别为& b、c,则就可以将这个三棱锥补成长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的球的直径.设其外接球的半径为 R ,则有2R 后 b2 c 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。,几何体的外接球直径为2五体对角线长I则体对角线长为即 2【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为【例题】：在四面体且5co中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为jR，3,若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为行的长即：4下=4=16所以h2球的表面积为 = 4斌=16汗例6 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为石，四个顶点在同一球面上，则A .1此球的表面积为（)A1B ;解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此,由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体，如图 2,四面体A BDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE /，由此可求得正方体的棱长为1 ,体对角线为 由，从而外接球的直径也为后,所以此球的表面积便可求得，故选 A.（如图2）例7 （2006年山东高考题）在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（4 .3A.方B.C.D.24AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1相同了，故选C.心DC,即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例 6就完全P因为 AE=EB=DC=1 , DAB= CBE= DEA=60 ,所以DA=AB=BC=外,o 白N积等于A4华机：本题1占用 般方法B,需要找出球，D便可找到球的直径，由于 DA平面ABC, AB图3广如图4所示的长方体，又因为da=ab=bc=石， 正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角求泡酒Q c而利用长方体模型很快BC，E想长方体中的相应线段关系，构造D则 .-/X -一一此长万体为 尸三角形解出a1.BC图考题）已知球O的面上四点/A! BtD, DA平面ABCCD=3 .故球O的体积等于2 .（如图4）2、构造长方体例9（2008年安徽高考题）已知点A B、C、D在同一个球面上，AB平面bcd , BC DC , 若AB 6,AC=2屈,AD=8 ,则球的体积是 .解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4 为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在Rt ABC中，求出BC=4 ,A.X /1,丁.，k 4所以BOC=6O0,故R C两点间的球面距离oI是3 .（如图f_ -15）B -IC乙1 一本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的一问题。三.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16 B. 20 C. 24 D. 32解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4x2 16,解得x 2.2R奴22 42 2府 R而.这个球的表面积是4 R2 24 .选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解 的.为石占,八、O,如图1所示.四.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为解 设正四棱锥的底面中心为 。1,外接球的球心为 丁由球的截面的性质，可得 001平面abcd .又S。平面ABCD，球心。必在SO1所在的直线上ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径在 ASC 中，由 SA SC 近,AC 2,得 SA2 SC2 AC 2ASC是以AC为斜边的RtAC 1V球土2是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 3小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴 截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 .本题提供的这种思路是探求正棱锥外接 球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何 问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习五.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4，BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D,则四面体ABCD的外接球的体积为125A. 12125B. 9125C. 6解设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相OA OB OC OD. .点O到四面体的四个顶点平分，可知125D. 3A B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图 2所示.，外接球的半径V球4 R3股故 36.选C.出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,解:FC二百因为Ta商Je所以知q=F +网口所以PAL PC所以可得图形为：在RtMBC中斜边为AC在RtAMC中斜边为WC取斜边的中点在反上A45C中工郎三在出&MC中所以在几何体中即为该四面体的外接球的球心，二一朝二-.所以该外接球的体积为33【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1 .（陕西?）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）3 3 d3 3A32 .直三棱柱ABC A1B1cl的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA, 2, BAC 120 ,则此球的表面积等于3 .正三棱柱ABC A1B1cl内接于半径为2的球，若A, B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为.4 .表面积为2必 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A.32、. 235 .已知正方体外接球的体积是丝，那么正方体的棱长等于（）A.2 2B.2.3C.4,2D.4,36. （2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（A 1 ： 337. （2008海南、宁夏）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体积为8.（2007 天津）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2, 3,则此球的表面积为9. （2007全国n） 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为cm10. （2006辽宁）如图,径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ,11