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-判别平行四边形的根本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形判别A C 图2B C 图2C C 图2D C 图2O C 图2E C 图2F C 图2图1例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于条件与对角线有关,故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形进展判别.为此,需连接BD.解:连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形判别图2ABCDEF例2 如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形,请你指出图中所有的平行四边形,并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度,则图中各四边形的边长便可求得,故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形进展判别.解:设每根木棒的长为1个单位长度,则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.A图3CDEFB因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判别例3 如图3,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,DFBE,试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形,但仔细观察可知,由条件可得ADFCBE,由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等 的条件.解:因为DFBE,所以AFD=CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE.又DF=BE,所以ADFCBE,所以AD=BC,DAF=BCE,所以ADBC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形判别ABCDEF图4132例4 如图4,在平行四边形ABCD中,DAB、BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F,则四边形AECF是平行四边形吗.为什么.分析:由平行四边形的性质易得AFEC,又题目中给出的是有关角的条件,借助角的条件可得到平行线,故此题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形进展判别.解:四边形AECF是平行四边形.理由:因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,DAB=BCD,所以AFEC.又因为1=DAB,2=BCD,所以1=2.因为ADBC,所以2=3,所以1=3,所以AECF.所以四边形AECF是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有:1证两组对边分别平行;2证两组对边分别相等;3证一组对边平行且相等;4证对角线互相平分;5证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。AFBDCE图1一、 两组对边分别平行如图1,ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。解:1选证BDEFEC证明:ABC是等边三角形,BC=AC,ACD=60CD=CE,BD=AE,EDC是等边三角形DE=EC,CDE=DEC=60BDE=FEC=120又EF=AE,BD=FE,BDEFEC2四边形ABDF是平行四边形理由:由1知,ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60ABDF,BDAF四边形ABDF是平行四边形。点评:当四边形两组对边分别被第三边所截,易证截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时,可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平行四边形。二、 一组对边平行且相等例2 :如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交DE于F(1)求证:BCGDCE; (2)将DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE,判断四边形EBGD是什么特殊四边形.并说明理由。分析:2由于ABCD是正方形,所以有ABDC,又通过旋转CE=AECE=CG,所以EA=CG,这样就有BE=GD,可证EBGD是平行四边形。解:1ABCD是正方形,BCD=DCE=90又CG=CE,BCGDCE2DCE绕D顺时针旋转90得到DAE,CE=AE,CE=CG,CG=AE,四边形ABCD是正方形BEDG,AB=CDAB-AE=CD-CG,即BE=DG四边形DEBG是平行四边形点评:当四边形一组对边平行时,再证这组对边相等,即可得这个四边形是平行四边形三、 两组对边分别相等例3 如图3所示,在ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD,等边ACE,等边BCF。求证:四边形DAEF是平行四边形;分析:利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等,从而四边形DAEF是平行四边形。解:ABD和FBC都是等边三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60DBF=ABC又BD=BA,BF=BCABCDBFAC=DF=AE同理ABCEFCAB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评:题设中存在较多线段相等关系时,可证四边形的两组对边分别相等,从而可证四边形是平行四边形。四、 对角线互相平分例4:如图4,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,AEBD于E,BFAC于F,CGBD于G,DHAC于H,求证:四边形EFGH是平行四边形。图4分析:因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线,这些条件与四边形EFGH的对角线有关,假设能证出OE=OG,OF=OH,则问题可获得解决。证明:AEBD,CGBD,AEO=CGO,AOE=COG,OA=OCAOECOG,OE=OG同理BOFDOHOF=OH四边形EFGH是平行四边形点评:当条件与四边形两对角线有关时,可证两对角线互相平分,从而证四边形是平行四边形。五、 两组对角相等例5将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗.理由。(1)如图2,将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置,四边形ABC1D1是平行四边形吗.说出你的结论和理由:。分析:因为题设与四边形内角有关,故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解:1四边形ABCD是平行四边形,理由如下:ABC=ABD+DBC=30+90=120,ADC=ADB+CDB=90+30=120又A=60,C=60,ABC=ADC,A=C2四边形ABC1D1是平行四边形,理由如下:将RtBCD沿射线方向平移到RtB1C1D1的位置时,有RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D,BC1B1=DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1,BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形=点评:2也可这样证明:由1知ABCD是平行四边形,ABCD,将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置时,始终有ABC1D1,故ABC1D1是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形这局部内容后,对于平行四边形的判定问题,可从以下几个方面去考虑:一、考虑“对边关系思路1:证明两组对边分别相等例1 如图1所示,在ABC中,ACB90,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AFCE.求证:四边形ACEF是平行四边形.证明:DE是BC的垂直平分线,ABCDEF图1123DFBC,DB = DC.FDB = ACB = 90. DFAC .CE = AE =AB.1 = 2 . 又EFAC,AF = CE = AE,2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF .四边形ACEF是平行四边形. 思路2:证明两组对边分别平行例 2 :如图2,在ABC中,ABAC,E是AB的中点,D在BC上,延长ED到F,使ED = DF = EB. 连结FC.ABCDEF求证:四边形AEFC是平行四边形. 证明:ABAC,B =ACB.ED = EB,B =EDB.ACB =EDB. EFAC.E是AB的中点,BD = CD.EDB =FDC,ED = DF,EDBFDC. DEB =F.ABCF.四边形AEFC是平行四边形.思路3:证明一组对边平行且相等例3 如图3,平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE = CF,M、N分别是DE、BF的中点.求证:四边形ENFM是平行四边形. 证明:四边形ABCD是平行四边形,AD= BC,A =C .ABCDEFMN3321又AE = CF,ADECBF.1 =2,DE = BF .M、N分别是DE、BF的中点,EM = FN .DCAB,3 =2.1 =3. EMFN .四边形ENFM是平行四边形.E14二、考虑“对角关系ABCD3思路:证明两组对角分别相等2例4 如图4,在正方形ABCD中,点E、F图4F分别是AD、BC的中点.求证:1ABECDF;2四边形BFDE是平行四边形. 证明:1在正方形ABCD中,AB = CD,AD = BC,A =C =90,AE =AD,CF =BC,AE = CF. ABECDF.2由1ABECDF知,1 =2,3 =4. BED =DFB.在正方形ABCD中,ABC =ADC,EBF =EDF.
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