二、积分证明题例1、设f（）在0,上持续，,求证存在证：令F（x） 则(0)0，F(）=，又0=如果F(x)in在（,）内恒为正，恒为负 则也为正或为负,与上面成果矛盾，故存在使,而sn,因此()= 于是在区间上分别用罗尔定理,则存在使，存在=0,其中例2、设在0，1上有持续的一阶导数,且(0）=f(）=0，试证:,其中M证:用拉格朗日中值定理f（x)=(x)-f（0)，其中f（x)=f(x）f(）=,其中由 题设可知; 又因此M例设f(x),g(x)在上持续，证明证一:(引入参数法)设t为实参数, 则+2作为的一元二次不等式 AtC，则-C0即,因此证二:(引入变上限积分）令F(u）于是=f(u）(u) = 则 F（u)在上单调不增 故即证三：（化为二重积分解决）令 I , 则,其中区域D：，同理 2I=，故2因此,=例4.设(x)在上持续,证明证：在例3中，令g（x）=，则于是=例5.设在上持续，且0，证明证：在例3柯西不等式中,取f(）为 ,g(x)为则，,而因此例、设在上具有持续导数，且=，求证：证：在例3柯西不等式中取(x）为，g(）为x于是=一、 有关变上(下）限积分例、设f()= (常数),求解: = -例、设f()在内可导，f(1）,对所有x，t，均有，求(x)解：把所给方程两边求x求导,t(x）tf（）+d把x1代入,得 （t)= 再两边对t求导,得(t）+t于是，则f(t）=lnt +C,令t=代入得C=（)= ，因此（x)=（nx+1）例2 设（）为持续函数,且满足+2=,求（x）在0，上的最大值与最小值。解:先从方程中求出f(x）,为此方程两边对x求导 =而=因此两边再对x求导,得2（2x）=2-2x=6 ()3=x3，令得驻点 =又在,上f(x）没有不可导点，比较f(0)=0,（）-，f(）=6可知f（x）在0,2上最大值为(）6,最小值为f（）例3 设（x)在上持续,且f(x）,证明g(x)内单调增长证:当x0时,由于 (）在内单调增长例5求函数的单调区间与极值解:因此,令，得驻点，x0, x=1, x=-1又，故0为极大值f()=(1)=0为极小值