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高中数学难点解析难点14 数列综合应用问题纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.难点磁场()已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值 (t0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若任意实数x都满足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1g(x)为多项式,nN*),试用t表示an和bn;(3)设圆Cn的方程为(xan)2+(ybn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn、Sn.案例探究例1从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属级题目.知识依托:本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析:(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和,易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差.技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧.解:(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800(1)万元,第n年投入为800(1)n1万元,所以,n年内的总投入为an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400(1+),第n年旅游业收入400(1+)n1万元.所以,n年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+)+400(1+)k1=400()k1.=1600()n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bnan0,即:1600()n140001()n0,令x=()n,代入上式得:5x27x+20.解此不等式,得x,或x1(舍去).即()n,由此得n5.至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.例2已知Sn=1+,(nN*)设f(n)=S2n+1Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式:f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立.命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属级题目.知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.错解分析:本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.技巧与方法:解决本题的关键是把f(n)(nN*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就转化为:函数f(n)的最小值大于logm(m1)2log(m1)m2.解:Sn=1+.(nN*)f(n+1)f(n)f(n)是关于n的增函数f(n) min=f(2)=要使一切大于1的自然数n,不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此时设logm(m1)2=t 则t0于是解得0t1 由此得0logm(m1)21 解得m且m2.锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关:(1)事理关:需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力.(2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.(3)事理关:在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.歼灭难点训练一、选择题1.()已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1,当a=1,2,n,时,其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2,,dn,则 (d1+d2+dn)的值是( )A.1 B.2C.3D.4二、填空题2.()在直角坐标系中,O是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若1,x1,x2,4依次成等差数列,而1,y1,y2,8依次成等比数列,则OP1P2的面积是_.3.()从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满;这样倒了n次,则容器中有纯酒精_升.4.()据2000年3月5日九届人大五次会议政府工作报告:“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%,”如果“十五”期间(2001年2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为_亿元.三、解答题5.()已知数列an满足条件:a1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比为q(q0)的等比数列,设bn=a2n1+a2n(n=1,2,).(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的q的取值范围;(2)求bn和,其中Sn=b1+b2+bn;(3)设r=219.21,q=,求数列的最大项和最小项的值.6.()某公司全年的利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以n发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1kn)为第k位职工所得奖金金额,试求a2,a3,并用k、n和b表示ak(不必证明);(2)证明akak+1(k=1,2,n1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;(3)发展基金与n和b有关,记为Pn(b),对常数b,当n变化时,求Pn(b).7.()据有关资料,1995年我国工业废弃垃圾达到7.4108吨,占地562.4平方公里,若环保部门每年回收或处理1吨旧物资,则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石20吨,设环保部门1996年回收10万吨废旧物资,计划以后每年递增20%的回收量,试问:(1)2001年回收废旧物资多少吨?(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地?8.()已知点的序列An(xn,0),nN,其中x1=0,x2=a(a0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An2An1的中点,.(1)写出xn与xn1、xn2之间关系式(n3);(2)设an=xn+1xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列an的通项公式,并加以证明;(3)求xn.参考答案难点磁场解:(1)设f(x)=a(x)2,由f(1)=0得a=1.f(x)=x2(t+2)x+t+1.(2)将f(x)=(x1)x(t+1)代入已知得:(x1)x(t+1)g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的xR都成立,取x=1和x=t+1分别代入上式得:且t0,解得an=(t+1)n+11,bn=1(t+1n)(3)由于圆的方程为(xan)2+(ybn)2=rn2,又由(2)知an+bn=1,故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上,又圆Cn与圆Cn+1相切,故有rn+rn+1=an+1an=(t+1)n+1设rn的公比为q,则得q=t+1,代入得rn=Sn=(r12+r22+rn2)=(t+1)2n1歼灭难点训练一、1.解析:当a=n时y=n(n+1)x2(2n+1)x+1由x1x2=,得dn=,d1+d2+dn答案:A二、2.解析:由1,x1,x2,4依次成等差数列得:2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1,y1,y2,8依次成等比数列,得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,P1(2,2),P2(3,4).=(3,4)答案:13.解析:第一次容器中有纯酒精ab即a(1)升,第二次有纯酒精a(1),即a(1)2升,故第n次有纯酒精a(1)n升.答案:a(1)n4.解析:从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项,以7.3%为公比的等比数列,a5=95933(1+7.3%)4120000(亿元).答案:120000三、5.解:(1)由题意得rqn1+rqnrqn+1.由题设r0,q0,故从上式可得:q2q10,解得q,因q0,故0q;(2).b1=1+r0,所以bn是首项为1+r,公比为q的等比数列,从而bn=(1+r)qn-1.当q=1时,Sn=n(1+r),从上式可知,当n20.20,即n21(nN*)时,Cn随n的增大而减小,故1CnC21=1+=2.25当n20.20,即n20(nN*)时,Cn也随n的增大而减小,故1CnC20=1+=4综合两式知,对任意的自然数n有C20CnC21,故Cn的最大项C21=2.25,最小项C20=4.6.解:(1)第1位职工的奖金a1=,第2位职工的奖金a2=(1)b,第3位职工的奖金a3=(1)2b,第k位职工的奖金ak= (1)k1b;(2)akak+1=(1)k1b0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数,则f1(b)=(1)b,f2(b)=(1)2b,fk(b)=(1)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1)nb,故.7.解:设an表示第n年的废旧物资回收量,Sn表
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