管道元件变形的几种基本形式管道元件变形的基本形式有拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲共四种，受多种载荷作用的管子变形都可视为这四种基本变形 形式的组合。因此可以说，管道元件的基本变形形式是解决复杂应力状态问题的基础。在了解复杂应力状态下的管道应力分析 之前，有必要先了解一下四种基本变形形式。（一）拉伸和压缩管子的拉伸和压缩是由大小相等、方向相反、作用线与管道中心轴线重合的一对外力引起的管子变形形式。其变形特点是 管子沿中心轴线方向被拉伸或被压缩，如图6-1 所示：图 6-1 管子的拉伸与压缩变形根据圣维南原理可知，管子的两端部沿截面上的力不一定均匀分布，但远离端部的任一横截面上的内力是均匀分布的。假 想将管道元件在m-m处切开，那么m-m截面上的内力是均匀的。根据力的平衡法则可知此时N=F。根据应力的定义可以得到m-m 截面上内力 N 与应力的关系为：平面假设认为，对于各向同性材料，此时截面上的应力是均匀分布的，实验证明也如此。故有Np .A由于此时N=F,故有：F=O .A， 或者(a)一般情况下，管道元件受拉时，其外力F和应力O为正，受压时，F和O为负。对管子来说，设管子外径为D,内径为d,故其横截面积为：(b)将式（b）代入式（a）可得:4F筑P_巧(6-1)式 6-1 即为管道元件受拉压时的强度校核公式。求解该式的过程称做管道元件的强度校核过程。在已知力F和材料许用应力的情况下，可以通过式6-1变换求解管道元件需要的截面积大小，即这一过程称为管子的设计过程。同理，在已知管道元件尺寸和材料许用应力的情况下，也可以通过式6-1变换求解最大允许载荷，即F=a .A。这一过程 称为管道元件的载荷条件限制过程。值得一提的是，管道元件受压缩时，在不考虑失稳的情况下，其弹性模量E和屈服极限O s与拉伸时相同，但材料屈服后, 管子横截面积会不断增加，其抗压能力也将不断提高。因此，研究弹性材料的压缩强度破坏无太大工程意义，而此时较多研究 的是其刚度破坏。对于单纯拉压变形，无须用物理方程和几何方程即可求解，故它是比较简单的变形形式。（ 二） 剪切 管子的剪切变形是由大小相等、方向相反、作用线垂直于管轴且距离很近的一对力引起的管子变形形式。其变形特点表现 为受剪管子的两部分沿力的作用方向发生相对错动，见图6-2 所示。图 6-2 管子的剪切变形与管道的拉伸和压缩相似，可以近似地认为在管子远离端部的任一截面上的剪力（内力）是沿截面均匀分布的，且其内（剪） 力与外力大小相等、方向相反，即F=N。同理，可认为其剪应力沿截面也均匀分布，且有：或者写成：(6-1)式6-2即为管道元件受剪切时的强度校核公式。 同样，对式6-2进行变换，可以进行管子受剪情况下的截面积计算和确定许可载荷。一般情况下，材料的许用剪切应力很难查到，但试验证明材料的许用剪切应力与许用拉伸应力存在下列近似关系：对塑性材料：T = (0.60.8)9 对脆性材料：T = (0.61.0)9 纯剪切变形也无须用几何方程和物理方程即可求解。(三)扭转 管子的扭转变形是由大小相等、方面相反、作用面垂直于管子轴线的两个力矩引起的管子变形形式。其变形特点表现为管道元件的任意两个横载面绕管子的中心轴线发生相对转动，见图6-3所示：图6-3 管子的扭转变形根据圣维南原理可知，在管子的任一截面上的内力(矩)Mn是均匀分布的，且根据力的平衡法则可知，Mn =M。Mn也是一个矢量，且规定：按右手螺旋法则，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，Mn为正，反之为负。对于管子的扭转变形，其应力在管子各横截面上的分布已不再是均匀的。从图6-4中可以看出，距轴线中心0越近，变形量越小。图6-4所示的为一从受扭转变形的管子上截取的微元，微元沿轴线长度为dx。在扭转力矩的作用下，位于半径Ri上的a点因发生微小错动到达a点，此时也相当于oa线相对于oa线转动了一个dj角度。那么由其几何关系可知：aa=Ri dj。而ba线发生的角度改变(即剪应变)ii应为:aa(a) 图6-4扭转变形微元式(a)即为管道元件扭转变形时的几何方程。由公式可以看出，横截面上任意点的剪应变与该点到管子轴中心线的距离成正比，而到轴中心线距离相同的点(即在同一园周上的点)，其剪应变相同。由虎克定律知道，在半径Ri上任意点的剪应力T i=G.ri，将(a)式代入可得:(b)式(b)即为管子扭转变形时的物理方程。由式中可以看出，横截面上任意点的剪力与该点到管中心的距离成正比，且同一园 周上的应力相等。由此也可以看出，此时的剪应力在管子横截面上已非均匀分布。式(b)中由于有dj/dx这一未知条件，故仍无法计算剪应力，此时须借助于静力平衡方程。图6-5表示了管子某一横截面上的内力微元，微元的宽度为dRi，周长为2n Ri，面积为dAi=2n Ri.dRi。由于dRi非常小，可认为在微元中的剪应力是均匀分布的，即此时面积dAi上的剪力为:Ni=T idAi扭矩为:Mi=NiRI=T iRI dAi对整个管道横截面积积分可得:(c)将式(b)代入式(c)可得:图 6-5 扭转变形内力微元在该积分方程中，只有Ri是变量，故可将常量移出积分外。设，代入上式可以得到：(d)将式(b)代入式(d)可得：对上式进行公式变换得：(e)由式(e)可以看出，当Ri=D/2时，T i最大，即最大剪应力发生在管子横截面的最外园上，此时有:并代入上式可得：(6-3)式 6-3即为管子受扭转载荷时的强度校核公式。同样，通过式子变换可以进行管子受扭转载荷时的截面参数计算和确定许 可扭转载荷。通常将Jp叫做管道元件的扭转惯性矩，将Wn叫做管道元件的抗扭截面模量。通过Jp和Wn的定义式很容易求出图6-5所 示管子的表达式：同样，一般很难查到材料的扭转许用剪应力T 。试验证明，扭转许用剪应力T 与拉伸许用应力O 存在如下近似关系:r = (0j50_Qff(三)弯曲在这里仅研究纯弯曲的情况，即管子各横截面上只有正应力而无剪应力，管道元件中心轴线变形后为一平面曲线。此时管 子的弯曲变形是由大小相等、方向相反、作用面为沿管子中心轴线的纵向平面并包含轴线在内的两个力矩引起的管子变形形式 其变形特点表现为管子的中心轴线由直线变为平面曲线，如图6-6 所示。图 6-6 管子的平面纯弯曲变形在管子上用两个横截面截取得到一个微元。在弯矩的作用下，两个横截面都绕截面内的某一轴线转了一个角度，那么此时 微元中两个截面形成一个夹角de，见图6-6(b)所示。在微元中，靠近弯曲内侧的金属受压缩，靠近弯曲外侧的金属受拉伸。 那么在每个截面上，金属由压缩变为拉伸时，肯定会存在一层金属不发生变形，并称这层金属为中性层。中性层的曲率半径为R， 那么距中性层为y的金属在变形后的长度为aa=(R+|y|)de。由于中性层金属的长度不变，且oo=R.de，那么距中性层为y的金属变形量(即线应变)则为：+Jy| r(a)式(a)即为管道元件受平面纯弯曲的几何方程。公式表示，距中性层越远，其线应变越大。y的正负号分别表示金属受拉或受压，当直观能判断金属受拉还是受压时，其绝对值符号可以取消。根据虎克定律，可得其物理方程为：(b)从式(b)中可以看出，管子在受平面纯弯曲时，其正应力在横截面上的分布是不均匀的，应力的大小与其距中性层的距离成 正比。为了建立管子受平面纯弯曲的静力方程，可取一个内力微元，见图6-7所示。微元的面积为dAy。可以证明，中性层一定通 过管子横截面的形心。由于管子受纯弯曲，故其静力方程为：(c)将(b)式代入(c )式可得:，代入上式并进行式子变换得:1 AfE Jx(d)将式(d)代入式(b)可得：图6-7平面纯弯曲内力微元(e)由式(e)可知，当y最大时，此时的应力也最大，即有:(f)，代入式(f)可得:(6-4)式 6-4 即为管子受平面纯弯曲时的强度校核公式。同样，通过式子变换，可以进行管子受纯弯曲荷载时的截面参数计算和 确定许可弯曲载荷。通常将Jz叫做管子横截面对Z轴的惯性矩，将Wz叫做管子的抗弯截面模量。通过Jz和Wz的定义公式，很容易求出图6-7 所示管子的表达式为:在工程上，有时不仅要核算管子在弯曲载荷作用下的强度，还要核算其挠度。所谓挠度，是指在弯曲载荷作用下，管子上各点(一般以形心为代表)上下的垂直位移，见图6-8所示的y坐标。由图中可知，管子在弯曲载荷的作用下，其形心直线变为 平面曲线，并可用y=f(x)表示，常称之为挠曲线。对非纯弯曲情况，弯矩M和曲率半径R已不在是一个常数，而是x的函数，即：M=M(x) ， R=R(x)在跨度1远大于管子直径的情况下，尤其是受均布载荷的情况下，可忽略剪力对挠度的影响，那么可有下列近似公式：1 d2yHE(g)将式(g)代入式(d)可以得到:E Jx(h)式(h)即为挠曲线的微分方程。对式(h)进行两次积分可以得到：图6-8弯曲情况下的管子挠度式6-5即为求解管子挠度的方程式。其中C、D为积分常数，它与管子两端的支撑条件等有关。按式6-5求得的挠度y值，应满足工程上规定的刚度条件，即：ymaxWf,式中f为工程上规定的许用挠度值。有关这 方面的问题将在第八章中进一步介绍。