（天津专版）2022年高考数学 母题题源系列 专题20 应用导数研究函数的性质 文【母题原题1】【2018天津，文20】设函数，其中，且是公差为的等差数列（I）若 求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线 与直线有三个互异的公共点，求的取值范围【考点分析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分【答案】()；()极大值为；极小值为；() 【解析】试题分析：（）由题意可得，结合，究的性质可得的取值范围是试题解析：（）由已知，可得，故，因此，又因为曲线在点处的切线方程为，故所求切线方程为（）由已知可得故令，解得，或当变化时，的变化如下表：+00+极大值极小值函数的极大值为；函数的极小值为（）曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数解，令，可得设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个零点的极小值若，由的单调性可知函数至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意的取值范围是【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用【母题原题2】【2017天津，文19】设，已知函数，（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围【答案】（）递增区间为，递减区间为（2）（）在处的导数等于0（）的取值范围是试题解析：（I）由，可得，令，解得，或由，得当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为（II）（i）因为，由题意知，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立【考点】1导数的几何意义；2导数求函数的单调区间；3导数的综合应用【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能【母题原题3】【2016天津，文20】设函数，其中(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为当时，存在三个单调区间（）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论；（）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究当时，当时，当时，当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而又，且，所以（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此综上所述，当时，在区间上的最大值不小于证法2：欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，使得若时，成立；当时，成立考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到【母题原题4】【2015天津，文20】已知函数（I）求的单调性；（II）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有;（III）若方程有两个正实数根且，求证：【答案】（I） 的单调递增区间是，单调递减区间是；（II）见试题解析；（III）见试题解析【解析】试题解析：（I）由，可得，当，即 时，函数 单调递增；当，即 时，函数 单调递减所以函数 的单调递增区间是，单调递减区间是（II）设，则， 曲线 在点P处的切线方程为，即，令 即 则由于在 单调递减，故在 单调递减，又因为，所以当时，所以当时，所以 在单调递增，在单调递减，所以对任意的实数x，对于任意的正实数，都有【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力 【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等 【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步： 第一步：求解导函数、因式分解、分类讨论，写出单调性 （1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减（）若，则由得当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增 第二步：依据单调性判断零点情况 （）若，由（1）知，至多有一个零点（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即 第三步： 赋值判断零点 又，故在有一个零点设正整数满足，则由于，因此在有一个零点综上，的取值范围为【方法总结】 1研究函数单调区间，实质研究函数极值问题分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏 2求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间 3讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制 4含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论 5求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数的定义域(定义域优先)；(2)求导函数；(3)在函数的定义域内求不等式或的解集(4)由（）的解集确定函数的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间 6由函数在上的单调性，求参数范围问题，可转化为 (或)恒成立问题，要注意“”是否可以取到 7求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念 8函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用 9导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用 10函数的单调性问题与导数的关系 （1）函数的单调性与导数的关系：设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数 （2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数）0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则