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精选优质文档-倾情为你奉上求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)总述:一利用递推关系式求数列通项的11种方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。 四求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于: -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若,则 两边分别相加得 例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。例2 已知数列满足,求数列的通项公式。解法一:由得则所以解法二:两边除以,得,则,故因此,则评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.。 -适用于: -这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若,则两边分别相乘得,例4 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列,且(=1,2, 3,),则它的通项公式是=_.解:已知等式可化为:()(n+1), 即时,=.评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.练习.已知,求数列an的通项公式.答案:-1.评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型(1)若c=1时,数列为等差数列;(2)若d=0时,数列为等比数列;(3)若时,数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法:设,得,与题设比较系数得,所以所以有:因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,所以 即:.规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列中,求数列的通项公式。解法一: 又是首项为2,公比为2的等比数列 ,即解法二: 两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的练习已知数列中,求通项。答案:2形如: (其中q是常数,且n0,1) 若p=1时,即:,累加即可.若时,即:,求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即: ,令,则,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即: ,令,则可化为.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例7已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数法):设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略解法三(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略3形如 (其中k,b是常数,且)方法1:逐项相减法(阶差法)方法2:待定系数法通过凑配可转化为 ; 解题基本步骤:1、确定=kn+b2、设等比数列,公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8 在数列中,求通项.(逐项相减法)解:, 时,两式相减得 .令,则利用类型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.例9. 在数列中,,求通项.(待定系数法)解:原递推式可化为比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列,首项,公比为. 即:故.4形如 (其中a,b,c是常数,且)基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。例10 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设 比较系数得, 所以 由,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。5.形如时将作为求解分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。例11 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得或,不妨取,(取-3 结果形式可能不同,但本质相同)则,则是首项为4,公比为3的等比数列,所以练习.数列中,若,且满足,求.答案: .四、迭代法 (其中p,r为常数)型例12 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以又,所以数列的通项公式为。注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p0, 例14. 设正项数列满足,(n2).求数列的通项公式.解:两边取对数得:,设,则 是以2为公比的等比数列, ,练习 数列中,(n2),求数列的通项公式. 答案:例15 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。两边取常用对数得设(同类型四)比较系数得, 由,得,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例16 已知数列满足,求数列的通项公式。解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,七、换元法 适用于含根式的递推关系例17 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,则代入得即因为, 则,即,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。例18 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由及,得由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。九、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有,又有 分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。例19 已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。解:对任意有 当n=1时,解得或当n2时, -整理得:各项均为正数,当时,此时成立当时,此时不成立,故舍去所以练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.答案: 2、对无穷递推数列例20 已知数列满足,求的通项公式。解:因为所以用式式得则 故所以由,则,又知,则,代入得。所以,的通项公式为十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法不动点的定义:函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。分析:由求出不动点,在递推公式两边同时减去,在变形求解。类型一:形如例21 已知数列中,求数列的通项公式。解:递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1,类型二:形如分析:递归函数为(1)若有两个相异的不动点p,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。例22. 设数列满足,求数列的通项公式.分析:此类问题常用参数法化等比数列求解.解:对等式两端同时加参数t,得:,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为,公比为的等比数列, =, 解得.方法2:,两边取倒数得,令b,则b,转化为累加法来求. 例23 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,得,则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。十一。特征方程法 形如是常数)的数列 形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为若有二异根,则可令是待定常数)若有二重根,则可令是待定常数)再利用可求得,进而求得例24 已知数列满足,求数列的通项解:其特征方程为,解得,令,由,得, 例25、数列满足,且求数列的通项。解:令,解得,将它们代回得,得,则,数列成等比数列,首项为1,公比q=2所以,则,十二、基本数列1形如型 等差数列的广义形式,见累加法。2.形如型 等比数列的广义形式,见累乘法。3.形如型(1)若(d为常数),则数列为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,分奇偶项来分求通项.专心-专注-专业
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