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高考数学精品复习资料 2019.5第二讲圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF|PM|,点F不在直线l上,PMl于M标准方程1(ab0)1(a0,b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a,|y|b|x|ax0顶点(a,0)(0,b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(,0)轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e (0e1)e (e1)e1准线x渐近线yx1 (20xx课标全国)设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案C解析由题意知:F,抛物线的准线方程为x,则由抛物线的定义知,xM5,设以MF为直径的圆的圆心为,所以圆的方程为22,又因为圆过点(0,2),所以yM4,又因为点M在C上,所以162p,解得p2或p8,所以抛物线C的方程为y24x或y216x,故选C.2 (20xx课标全国)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析由e知,a2k,ck(kR),由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.故选C.3 (20xx山东)抛物线C1:yx2(p0)的焦点与双曲线C2:y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p等于()A. B. C. D.答案D解析抛物线C1的标准方程为:x22py,其焦点F为,双曲线C2的右焦点F为(2,0),渐近线方程为:yx.由yx得xp,故M.由F、F、M三点共线得p.4 (20xx福建)椭圆:1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc),知MF1F260,又MF1F22MF2F1,所以MF2F130,MF1MF2,所以|MF1|c,|MF2|c,所以|MF1|MF2|cc2a.即e1.5 (20xx浙江)设F为抛物线C:y24x的焦点,过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|2,则直线l的斜率等于_答案1解析设直线l的方程为yk(x1),A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x0,y0)解方程组.化简得:k2x2(2k24)xk20,x1x2,y1y2k(x1x22).x0,y0.由2得:224.k1.题型一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为_(2)已知P为椭圆y21和双曲线x21的一个交点,F1,F2为椭圆的两个焦点,那么F1PF2的余弦值为_审题破题(1)根据椭圆定义,ABF2的周长4a,又e可求方程;(2)在焦点F1PF2中使用余弦定理答案(1)1(2)解析(1)设椭圆方程为1,由e知,故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16,故a4.b28.椭圆C的方程为1.(2)由椭圆和双曲线的方程可知,F1,F2为它们的公共焦点,不妨设|PF1|PF2|,则,所以.又|F1F2|2,由余弦定理可知cosF1PF2.反思归纳圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础因此,对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|,双曲线的定义中要求|PF1|PF2|0,b0)的两个焦点F1,F2,M为双曲线上一点,且满足F1MF290,点M到x轴的距离为.若F1MF2的面积为14,则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由题意得2c14,所以c4.又所以a,b.所以渐近线方程为yx.(2)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为_答案y28x解析抛物线y2ax(a0)的焦点坐标为,过焦点且斜率为2的直线方程为y2,令x0得y.OAF的面积为4,a264,a8.抛物线方程为y28x.题型二圆锥曲线的性质例2(1)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,|AB|4,则C的实轴长为()A. B2 C4 D8(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432,则曲线C的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或审题破题(1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解;(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点,所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线,再由离心率的定义即可求解答案(1)C(2)A解析(1)设C:1.抛物线y216x的准线为x4,联立1和x4得A(4,),B(4,),|AB|24,a2,2a4.C的实轴长为4.(2)当曲线C为椭圆时,e;当曲线C为双曲线时,e.反思归纳(1)求椭圆或双曲线的离心率的方法:直接求出a和c,代入e;建立关于a,b,c的方程或不等式,然后把b用a,c代换通过解关于的方程或不等式求得离心率的值或范围(2)研究圆锥曲线的几何性质,实质是求参数a、b、c或者建立a、b、c的关系式(等式或不等式),然后根据概念讨论相应的几何性质变式训练2(1)已知O为坐标原点,双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A,B,若()0,则双曲线的离心率e为()A2 B3 C. D.答案C解析如图,设OF的中点为T,由()0可知ATOF,又A在以OF为直径的圆上,A,又A在直线yx上,ab,e.(2)已知双曲线1 (a0,b0)的左顶点与抛物线y22px (p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为()A2 B2 C4 D4答案B解析由,解得,由题意得,得,又知a4,故a2,b1,c,焦距2c2.题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A,B两点当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.(1)求a、b的值;(2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由审题破题(1)由直线l的斜率为1过焦点F,原点O到l的距离为可求解;(2)需分直线l的斜率存在或不存在两种情况讨论设A(x1,y1),B(x2,y2),由条件可得P点坐标,结合A、B、P在椭圆上列等式消元求解解(1)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为xyc0,O到l的距离为,故,c1.由e,得a,b.(2)C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立由(1)知C的方程为2x23y26.设A(x1,y1),B(x2,y2)()当l不垂直于x轴时,设l的方程为yk(x1)C上的点P使成立的充要条件是P点坐标为(x1x2,y1y2),且2(x1x2)23(y1y2)26,整理得2x3y2x3y4x1x26y1y26,又A、B在椭圆C上,即2x3y6,2x3y6,故2x1x23y1y230.将yk(x1)代入2x23y26,并化简得(23k2)x26k2x3k260,于是x1x2,x1x2,y1y2k2(x11)(x21).代入解得k22,此时x1x2.于是y1y2k(x1x22),即P.因此,当k时,P,l的方程为xy0;当k时,P,l的方程为xy0.()当l垂直于x轴时,由(2,0)知,C上不存在点P使成立综上,C上存在点P使成立,此时l的方程为xy0.反思归纳解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤:(1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零);(3)应用根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解变式训练3(20xx浙江)如图,点P(0,1)是椭圆C1:1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2y24的直径l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为ykx1.又圆C2:x2y24,故点O到直线l1的距离d,所以|AB|22 .又l2l1,故直线l2的方程为xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0.所以|PD|.设ABD的面积为S,则S|AB|PD|,所以S,
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