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新编高考数学复习资料第1讲随机抽样知 识 梳 理1简单随机抽样(1)定义:一般地,从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(nN),如果每个个体都有相同的机会被取到,那么这样的抽样方法称为简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法2系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本(1)采用随机的方式将总体中的N个个体编号;(2)将编号接间隔k分段,当是整数时,取k;当不是整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数N能被n整除,这时取k,并将剩下的总体重新编号;(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l;(4)按照一定的规则抽取样本,通常将编号为l,lk,l2k,l(n1)k的个体抽出3分层抽样(1)当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总体情况,将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分,然后按各部分在总体中所占的比实施抽样,这种抽样方法叫分层抽样(2)分层抽样的步骤将总体按一定标准分层;计算各层的个体数与总体的个体数的比;按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量;在每一层抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)辨 析 感 悟1对简单随机抽样的认识(1)(教材思考问题改编)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大()(2)从100件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出一件,连续拿5次,是简单随机抽样()2对系统抽样的理解(3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体()(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平()3对分层抽样的理解(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关()(6)(2014郑州模拟改编)某校即将召开学生代表大会,现从高一、高二、高三共抽取60名代表,则可用分层抽样方法抽取()(7)(2013湖南卷改编)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件、80件、60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n13.()感悟提升两点提醒一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取,都是不放回抽样如(2)二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等,如(1)、(4)、(5).学生用书第149页考点一简单随机抽样【例1】 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本(2)盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里(3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验(4)某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛解(1)不是简单随机抽样由于被抽取的样本总体的个体数是无限的,而不是有限的(2)不是简单随机抽样由于它是放回抽样(3)不是简单随机抽样因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取(4)不是简单随机抽样因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样规律方法 (1)简单随机抽样需满足;抽取的个体数有限;逐个抽取;是不放回抽取;是等可能抽取(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数表法(适用于个体数较多的情况)【训练1】 下列抽样试验:从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验;从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验;从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验;从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验适合用抽签法的有_答案考点二系统抽样【例2】 (2012山东卷改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为_解析从960人中用系统抽样方法抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组抽到的号码为9,则第二组抽到的号码为39,第n组抽到的号码为an930(n1)30n21,由45130n21750,得n,所以n16,17,25,共有2516110人答案10规律方法 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定【训练2】 (1)从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是_5,10,15,20,25;3,13,23,33,43;1,2,3,4,5;2,4,6,16,32.(2)(2014临沂模拟)某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号、29号、42号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是_解析(1)间隔距离为10,故可能编号是3,13,23,33,43.(2)因为29号、42号的号码差为13,所以31316,即另外一个同学的学号是16.答案(1)(2)16考点三分层抽样【例3】 (2014兰州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:人)篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为_解析因为,所以解得a30.答案30学生用书第150页规律方法 进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1);(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比【训练3】 (1)(2012江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取_名学生(2)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为_解析(1)高二年级学生人数占总数的.样本容量为50,则高二年级抽取:5015(名)学生(2)由题意知,青年职工人数中年职工人数老年职工人数350250150753.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.答案(1)15(2)151三种抽样方法的联系三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性若样本容量为n,总体的个体数为N,则用这三种方法抽样时,每个个体被抽到的概率都是.2各种抽样方法的特点(1)简单随机抽样的特点:总体中的个体性质相似,无明显层次;总体容量较小,尤其是样本容量较小;用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性,个体间无固定间距(2)系统抽样的特点:适用于元素个数很多且均衡的总体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样(3)分层抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样 创新突破7抽样方法与概率的交汇问题【典例】 (2012天津卷)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,列出所有可能的抽取结果;求抽取的2所学校均为小学的概率解(1)由分层抽样的定义知,从小学中抽取的学校数目为63;从中学中抽取的学校数目为62;从大学中抽取的学校数目为61,所以从小学、中学、大学分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3种所以P(B).反思感悟 分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系,计算量和阅读量都比较大,且一般会有图表,求解时容易造成失误,平时需注意多训练此类型的题目【自主体验】(2014潮州模拟)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:学历35岁以下3550岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在3550岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为,求x,y的值解(1)用分层抽样的方法在3550岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,解得m3.抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;B1,B2,B3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1)(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2)从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为.(2)由题意,得,解得N78.3550岁中被抽取的人数为78481020,解得x40,y5.即x,y的值分别为40,5.对应学生用书P295基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1某中学进行了该学年度期末统一考试,该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩,从中随机抽取了100名学生的成绩单,就这个
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