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第三章 变化率与导数 (时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知函数f(x),则f(x)等于()AB0C. D.解析:选B.因为f(x),所以f(x)()0.2已知某质点的运动规律为st23(s的单位:m,t的单位:s),则该质点在t3 s到t(3t)s这段时间内的平均速度为()A(6t)m/s B(6t)m/sC(3t)m/s D(t)m/s解析:选A.平均速度为(6t)m/s.3设f(x)为可导函数,且满足 1,则过曲线yf(x)上点(1,f(1)处的切线斜率为()A2 B1C1 D2解析:选D.kf(1) 2 2.4已知函数f(x)在x1处的导数为3,则f(x)的解析式可能是()Af(x)(x1)33(x1)Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2Df(x)x1解析:选A.利用排除法,分别对四个选项求导数f(x),再求f(1)5已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A3 B2C1 D.解析:选B.设切点坐标为(x0,y0),且x00,因为yx,所以kx0,所以x02.6已知y2x3cos x,则y等于()A6x2xsin xB6x2xsin xC6x2xsin xD6x2xsin x解析:选D.y(2x3)(x)(cos x)6x2xsin x.7给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称函数f(x)在D上存在二阶导函数,记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立,则称函数f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex解析:选D.对A,f(x)cos xsin x,f(x)sin xcos x0,故f(x)在上是凸函数;对B,f(x)2,f(x)0,故f(x)在上是凸函数;对C,f(x)3x22,f(x)6x0,故f(x)在上是凸函数;对D,f(x)exxex,f(x)exexxexex(2x)0,故f(x)在上不是凸函数,选D.8已知曲线C:y2x2,点A(0,2)及点B(3,a),从点A观察点B,要实现不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是()A(4,) B(,4)C(10,) D(,10)解析:选D.在曲线C:y2x2上取一点D(x0,2x)(x00),因为y2x2,所以y4x,所以y2x2在D点处切线的斜率为4x0,令4x0,解得x01,此时D(1,2),所以kAD4,所以直线AD的方程为y4x2,要实现不被曲线C挡住,则实数a43210,即实数a的取值范围是(,10)9设a0,f(x)ax2bxc,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为,则P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为()A. B.C. D.解析:选B.因为过P(x0,f(x0)的切线的倾斜角的取值范围是,且a0,P在对称轴的右侧,所以P到曲线yf(x)对称轴x的距离dx0x0.又因为f(x0)2ax0b0,1,所以x0.所以dx0.10定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)2x,h(x)ln x,(x)x3(x0)的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()Aabc BcbaCacb Dbac解析:选B.g(x)2,h(x),(x)3x2(x0)解方程g(x)g(x),即2x2,得x1,即a1;解方程h(x)h(x),即ln x,在同一坐标系中画出函数yln x,y的图像(图略),可得1xe,即1be;解方程(x)(x),即x33x2(x0),得x3,即c3.所以cba.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分把答案填在题中的横线上)11已知a为实数,f(x)(x24)(xa),且f(1)0,则a_解析:f(x)x3ax24x4a,f(x)3x22ax4,f(1)32a40,所以a.答案:12设f(x)exx,若f(x0)2,则在点(x0,y0)处的切线方程为_解析:f(x)ex1,f(x0)2,所以ex012,所以x00,y0e001,所以切线方程为y12(x0),即2xy10.答案:2xy1013已知函数f(x)sin xxcos x,若存在x(0,),使得f(x)x成立,则实数的取值范围是_解析:f(x)(sin xxcos x)(sin x)(xcos x)cos x(cos xxsin x)xsin xx,因为x(0,),所以sin x,因为sin x(0,1,所以1.答案:(,1)14抛物线yx2上到直线x2y40距离最短的点的坐标为_解析:y2x,设P(x0,x)处的切线平行直线x2y40,则点P到直线x2y40的距离最短,由抛物线yx2在点P(x0,x)处的切线斜率为2x0,则2x0,解得x0,y0,故所求点的坐标为(,)答案:(,)15对正整数n,设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和为_解析:由yxn(1x)得ynxn1(1x)xn(1),所以f(2)n2n12n.又因为切点为(2,2n)所以切线方程为:y2n(n2n12n)(x2)令x0,得an(n1)2n.则数列的通项公式为an2n,由等比数列前n项和公式求得其和为2n12.答案:2n12三、解答题(本大题共5小题,共55分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分10分)将石块投入平静的水面,使它产生同心圆波纹,若最外一圈波纹半径R以4 m/s的波速增加,求在3 s末被扰动的水面面积的增长率解:设被扰动水面面积为S,时间为t(t0),所以SR2(4t)216t2,所以S(16t2)32t,所以当t3时,水面面积的增长率为96.17(本小题满分10分)求下列函数的导数(1)f(x)ln(8x);(2)yx3sin cos ;(3)y.解:(1)f(x)3ln 2ln x,f(x)(3ln 2)(ln x).(2)yx3sin cos x3sin x,y(x3sin x)(3x2sin xx3cos x)x2sin xx3cos x.(3)yx3xx2sin x,所以y(x3)(x)(x2sin x)3x2x2x3sin xx2cos x.18(本小题满分10分)已知曲线C:y3x42x39x24.(1)求曲线C在点(1,4)处的切线方程;(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?若有,求出公共点;若没有,请说明理由解:(1)y12x36x218x,所以当x1时,y12,所以在点(1,4)处的切线的斜率为12.所以所求的切线方程为y412(x1),即y12x8.(2)由得3x42x39x212x40,即(x2)(3x2)(x1)20,所以x12,x2,x31.所以除切点外,曲线和切线还有交点(2,32)和.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2(a2)xln x.(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当a1时,求证:当x1,e时,f(x)0,其中e为自然对数的底数解:(1)当a1时,f(x)x23xln x,f(x)2x3,因为f(1)0,f(1)2.所以切线方程是y2.(2)证明:函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域是(0,),f(x)2ax(a2),即f(x),当a1时,在x1,e上,2x10,ax10,可得f(x)0.20(本小题满分13分)设函数f(x)x3x2bxc,其中a0.曲线yf(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y1.(1)确定b,c的值;(2)设曲线yf(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2),证明:当x1x2时,f(x1)f(x2)解:(1)由f(x)x3x2bxc,得f(0)c,f(x)x2axb,f(0)b.又由曲线yf(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y1,得f(0)1,f(0)0.故b0,c1.(2)证明:f(x)x3x21,f(x)x2ax,由于点(t,f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt),而点(0,2)在切线上,所以2f(t)f(t)(t),化简得t3t210,即t满足的方程为t3t210.下面用反证法证明:假设f(x1)f(x2),由于曲线yf(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:由,得x1x2a.由,得xx1x2xa2.又xx1x2x(x1x2)2x1x2a2x1(ax1)xax1a2(x1)2a2a2,故由得x1,此时x2与x1x2矛盾,所以f(x1)f(x2)我国经济发展进入新常态,需要转变经济发展方式,改变粗放式增长模式,不断优化经济结构,实现经济健康可持续发展进区域协调发展,推进新型城镇化,推动城乡发展一体化因:我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
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