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惠州市高三第一次调研考试数 学 (文科)本试卷共4页,21小题,满分50分。考试用时120分钟。注意事项:1答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2.选择题每题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上相应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其她答案,答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色笔迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉本来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上规定作答的答案无效。 参照公式:锥体的体积公式:(是锥体的底面积,是锥体的高) 球体体积公式:(是半径)一、选择题(本大题共10小题,每题5分,满分50分.每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定.). 已知集合,集合,则( ) . C. D.2.为虚数单位,则复数的虚部为( )A B C. D3.若,则“”是“”的( )条件A充足而不必要 B必要而不充足 C充要 D既不充足又不必要若是真命题,是假命题,则( )A是真命题 B是假命题 C是真命题 D.是真命题5.在中,分别为角所对边,若,则此三角形一定是( )A等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形6.若函数,则函数在其定义域上是( ) A单调递减的偶函数 B单调递减的奇函数开始输出结束是否 单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数阅读右图1所示的程序框图,运营相应的程序,输出的成果是( ).A B. C. D 图18已知实数构成一种等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) 323正视图侧视图俯视图 9.设图2是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) .C D图21.对实数和,定义运算“”:。设函数,.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范畴是( )AB D.二、填空题(本大题共5小题,考生作答4小题,每题5分,满分2分.)(一)必做题(第1至13题为必做题,每道试题考生都必须作答。)11.若向量,,则等于_12已知函数则= .13设、满足条件,则的最小值是 .(二)选做题(14 1题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第14题的分。)PABCDO图314.(坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为,则圆上点到直线的最短距离为 。15. (几何证明选讲选做题)如图3,PB、C为O的两条割线,若 PA,B=,C=11,则BD等于 .三、解答题:本大题共小题,满分80分.解答须写出文字阐明、证明过程和演算环节.1(本小题满分12分)已知等差数列中,,.()求数列的通项公式;(2)若数列的前项和,求的值.17(本小题满分分)已知函数为偶函数,周期为.()求的解析式;()若,求的值18(本题满分4分) 某中学在校就餐的高一年级学生有0名,高二年级学生有46名,高三年级学生有00名;为理解学校食堂的服务质量状况,用分层抽样的措施从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个级别: 级(很不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其记录成果如下表(服务满意度为,价格满意度为).人数 价格满意度12345服务满意度11222213413378844451231()求高二年级共抽取学生人数;(2)求“服务满意度”为3时的个“价格满意度”数据的方差;(3)为提高食堂服务质量,现从且的所有学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.19(本小题满分1分) 如图,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,.(1)求证:平面;(2) 求四棱锥的体积.20.(本小题满分1分)已知椭圆的离心率为,且通过点()求椭圆的方程;()过点的直线交椭圆于,两点,求为原点)面积的最大值21.(本题满分14分)已知函数,且其导函数的图像过原点.(1)当时,求函数的图像在处的切线方程;(2)若存在,使得,求的最大值;(3)当时,求函数的零点个数。惠州市高三第一次调研考试文科数学参照答案与评分原则一.选择题(本大题共1小题,每题5分,共50分)题号123456890答案ACACBBCDB1【解析】由交集的定义选A.2.【解析】 故选【解析】当时,有.因此“”是“”的充足条件,反之,当时,因此“”不是“”的必要条件故选A.4.【解析】或()一真必真,且()一假必假,非()真假相反,故选D5.【解析】在中,若,则,即, 故选6【解析】在其定义域上单调递减,则是奇函数,故选B。7【解析】第一步:,第二步:,输出.故选B.【解析】因成等比,则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为;当时圆锥曲线为双曲线其离心率为 故选9.【解析】有三视图可知该几何体是一种长方体和球构成的组合体,其体积。故选D10【解析】由题设画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为, , 从图象中可以看出,直线穿过点,点之间时,直线与图象有且只有两个公共点,同步,直线穿过点,点时,直线与图象有且只有两个公共点,因此实数的取值范畴是.故选B二.填空题(本大题每题5分,共分,把答案填在题后的横线上)1 ; 1. ; 1 ; 14 .; 5 6 1【解析】 12.【解析】因函数所有13.【解析】由题意知当直线通过点时,取的最小值11【解析】由题意圆的直角坐标方程为,直线因此圆上点到直线的最短距离为15.【解析】由得又三、解答题:本大题共小题,满分0分.解答须写出文字阐明、证明过程和演算环节.16(本小题满分12分)解:(1)设等差数列的公差,则,由题设,,因此. 分()由于,因此,解得或.由于,因此 分17(本小题满分2分)解:(1), 则. 分是偶函数, 又,.则 分(2)由已知得,则 8分. 12分18.(本题满分14分)解:()共有1400名学生,高二级抽取的人数为(人)3分()“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为,4分 因此方差7分(3)符合条件的所有学生共7人,其中“服务满意度为”的人记为 “服务满意度为1”的3人记为 9分在这人中抽取人有如下状况:共2种状况. 1分其中至少有一人的“服务满意度为1”的状况有15种 12分因此至少有一人的“服务满意度”为1的概率为14分19. (本小题满分4分)(1)证明:连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形,点为的中点. 为的中点,为的中位线, . 分平面,平面,平面. 6分(2)解法1:平面,平面,平面平面,且平面平面作,垂足为,则平面, 8分,,在Rt中,, 分四棱锥的体积 12分 .四棱锥的体积为. 14分解法2: 平面,平面,.,.,平面. 8分取的中点,连接,则,平面.三棱柱的体积为, 1分则, 2分而, .四棱锥的体积为. 分20(本小题满分14分)()解: 由得 分由椭圆通过点,得 3分联立 ,解得 4分 因此椭圆的方程是5分 (2)解:易知直线的斜率存在,设其方程为.将直线的方程与椭圆的方程联立,消去得.分令,得.设,,则,.9分 因此10分由于设则 13分当且仅当,即时等号成立,此时面积获得最大值.1分21(本小题满分14分)解:,由得 , -分(1) 当时, ,,,因此函数的图像在处的切线方程为,即-4分() 存在,使得, ,,当且仅当时,因此的最大值为 -9分() 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 () 当时,的变化状况如下表:-11分的极大值,的极小值又,.因此函数在区间内各有一种零点,故函数共有三个零点。-4分注:证明的极小值也可这样进行:设,则当时,,当时, ,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值,的极小值,当无限减小时,无限趋于 当 无限增大时,无限趋于故函数在区间内各有一种零点,故函数共有三个零点。
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