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第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点,向量的模是(A )A B C 6 D 92. 设a=(1,-1,3), b=(2,-1,2),求c=3a-2b是( B )A (-1,1,5). B (-1,-1,5). C (1,-1,5). D (-1,-1,6).3. 设a=(1,-1,3), b=(2, 1,-2),求用标准基i, j, k表示向量c=a-b为(A )A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D -2i-j+5k4. 求两平面和的夹角是( C )A B C D 5. 已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB是( C)A B C D 6. 求点到直线L:的距离是:( A )A B C D 7. 设求是:( D )A -i-2j+5k B -i-j+3k C -i-j+5k D 3i-3j+3k8. 设的顶点为,求三角形的面积是:( A )A B C D 39. 求平行于轴,且过点和的平面方程是:( D)A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 10、若非零向量满足关系式,则必有( C );A ; B ; C ; D 11、设为非零向量,且, 则必有( C )A BC D 12、已知,则( D );A ; B 5; C 3; D 13、直线与平面的夹角为 (B ) A ; B ; C ; D 14、点在平面的投影为 (A )(A); (B); (C);(D)15、向量与的数量积=( C ).A ; B ; C ; D 16、非零向量满足,则有( C )A ; B (为实数); C ; D 17、设与为非零向量,则是(A )A 的充要条件; B 的充要条件; C 的充要条件; D 的必要但不充分的条件18、设,则向量在轴上的分向量是(B)A 7 B 7 C 1; D -919、方程组 表示 ( B ).A 椭球面; B 平面上的椭圆;C 椭圆柱面; D 空间曲线在平面上的投影.20、方程 在空间直角坐标系下表示 (C ). A 坐标原点; B 坐标面的原点;C 轴; D 坐标面.21、设空间直线的对称式方程为 则该直线必( A ).A 过原点且垂直于轴; B 过原点且垂直于轴;C 过原点且垂直于轴; D 过原点且平行于轴.22、设空间三直线的方程分别为,则必有( D ).A ; B ; C ; D .23、直线 与平面的关系为 ( A )A 平行但直线不在平面上; B 直线在平面上;C 垂直相交; D 相交但不垂直24、已知,且, 则 = ( D )A 1; B ; C 2; D .25、下列等式中正确的是( C ) A ; B ; C ; D 26、曲面在平面上的截线方程为 (D) A ; B ; C ; D 二、计算题1已知,求的模、方向余弦与方向角。解:由题设知 则 ,于是,。2设,和,求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。解: 故在轴上的投影为13,在轴上的分向量为。3在坐标面上求一与已知向量垂直的向量。解:设所求向量为,由题意, 取,得,故与垂直。当然任一不为零的数与的乘积也垂直。4求以,为顶点的三角形的面积。解:由向量积的定义,可知三角形的面积为,因为,所以,于是, 5求与向量,都垂直的单位向量。解:由向量积的定义可各,若,则同时垂直于和,且,因此,与平行的单位向量有两个:和6求球面与平面的交线在面上的投影的方程。解:由,得,代入,消去得,即,这就是通过球面与平面的交线,并且母线平行于轴的柱面方程,将它与联系,得:,即为所求的投影方程。7、求过,和三点的平面方程。解一:点法式:,取 ,于是所求方程:。解法二:用一般式,设所求平面方程为 将已知三点的坐标分别代入方程得解得 ,得平面方程:。8求平面与面的夹角余弦。解:为此平面的法向量,设此平面与的夹角为,则9分别按下列条件求平面方程(1)平行于面且经过点;(2)通过轴和点;(3)平行于轴且经过两点和。解:(1)因为所求平面平行于面,故为其法向量,由点法式可得:,即所求平面的方程:。(2)因所求平面通过轴,其方程可设为,已知点在此平面上,因而有,即,代入(*)式得:,即所求平面的方程为:。(3)从共面式入手,设为所求平面上的任一点,点和分别用,表示,则,共面,从而,于是可得所求平面方程为:。10用对称式方程及参数式方程表示直线:。解:因为直线的方向向量可设为,在直线上巧取一点(令,解直线的方程组即可得,),则直线的对称式方程为,参数方程为:,。11求过点且与两平面和平行的直线方程。解:因为两平面的法向量与不平行,所以两平面相交于一直线,此直线的方向向量,故所求直线方程为。12确定直线 和平面间的位置关系。解:直线的方向向量 平面的法向量 从而,由此可知直线平等于平面或直线在平面上。再将直线上的点的坐标代入平面方程左边,得,即不在平面上,故直线平行于平面。13求过点而与直线,平行的平面方程。解:因为直线的方向向量, 直线的方向向量。 取 ,则通过点并以为法向量的平面方程即为所求的平面方程。14、已知,问为何值时,向量与互相垂直解 由得,即 ,将代入得:,解得 15、求两平行面与之间的距离解 在平面上取点,则点M到平面的距离即为所求:16、求过点且与两平面和的交线平行的直线方程解 设为所求直线的一个方向向量,由题意知与两个平面的法向量和同时垂直,故有即 解得: ,即得 故所求直线方程为 17、一平面过点且平行向量和,试求这平面方程解 (从点法式入手) 由条件可取,于是 ,即 为所求平面方程
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