专题研究 巧用向量法求空间角图1众所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中：两向量的共线易解决垂直，两向量所成角及线段的长度等问题。一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具，应该说不仅会降低了学习的难度，而且增强了可操作性，为我们的学习提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学习立体几何知识所产生的畏惧心理，有利于牢固对立几知识的掌握。角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可进一步转化为向量的夹角求解。1、求两条异面直线所成的角：求所成的角（），再化为异面直线所成的角切记即：，其中分别是直线的方向向量。 例1、（2020年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求异面直线AB与CD所成角的大小；解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为评注：以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，空间向量的数量积计算，异面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便；另本题也可用传统方法（平移法）求解。例2、（2020年广东卷）如图5所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD求直线BD与EF所成的角.解：以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为2、求直线和平面所成的角：求与的法向量所成的角，则线面角是。利用此种方法的关键是求出平面的法向量。图2具体求法：设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角是特别的：最小角定理：是斜线与平面内过斜足的直线所成的角；是线面角（斜线与射影）；是射影与过斜足的直线（面内）所成的角。例3（2020年江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）；求直线A1E与平面A1BP所成角的大。图1图2例4、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， 底面，且，分别为、的中点。求与平面所成的角。解:如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.，因为，所以与面所成的角为.例5、（2020年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；解、建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为平面的一个法向量。设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。图3甲评注：要特别注意线面角的范围-。先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算。3、求二面角：范围：二面角的求法有棱二面角：三步法-作（先作平面的垂线过垂足作棱的垂线连线）、证、算射影面积公式：法向量法：方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则图3乙 若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即（例如2020年高考数学广东卷第18题第（1）问）. 若二面角是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量的夹角，即（例如2020年高考数学广东卷第18题第（1）问）.图4方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即 分别是的法向量，则二面角的平面角在内，在内，则二面角的平面角无棱二面角：方法一：无棱变有棱（延长、连线找到棱）射影面积公式：（大题一般按不可轻易使用）例6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面与底面所成角分别是，底面面积是，则三棱锥的体积是_。（1）法向量法：分别是的法向量，则二面角的平面角ABCDEFOPH 在内，在内，则二面角的平面角例7、（2020年安徽卷）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。求面与面所成二面角的大小。解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，设平面PAB的法向量为，则，得，；设平面PDB的法向量为，则，得，；，所求二面角大小是例8、如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，()求四棱锥SABCD的体积；()求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值解：（）直角梯形ABCD的面积是M底面， 四棱锥SABCD的体积是 M底面 （）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱 ADBC，BC = 2AD， EA = AB = SA， SESB， SA面ABCD，得SEB面EBC，EB是交线，又BCEB， BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角 ，BC =1，BCSB， tanBSC 即所求二面角的正切值为评注：可建立空间直角坐标系得进而得二面角的正切值为，同学们自己尝试。也可利用快速验证。例9、在直三棱住中，D是BC的中点，F是上一点，且。求面与面所成锐二面角。提示：方法一：无棱变有棱（延长相交、连接）延长交于点E，连接AE，则AE就是二面角的棱.方法二：（不要直接使用） 方法三：建立空间直角坐标系参考答案：DBACSFEDBACS例10、如图，三棱锥中，有试作出面与面的交线，说明理由；试作出面与面的交线，说明理由。评注：作两平面的交线，是学习立体几何的基本功，在以后的学习中经常用到，尤其是作无棱的二面角的平面角时，更显重要。中还运用了直线与平面平行的判定和性质定理。作简单几何体的截面问题是数学的心脏,痛，并快乐着！