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For personal use only in study and research; not for commercial use有理数混合运算的方法技巧一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序:从高级到低级:先算乘方,再算乘除,最后算加减;有理数的混合运算涉及多种运算,确定合理的运算顺序是正确解题的关键。例1:计算:35022()1从内向外:如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的。例2:计算:从左向右:同级运算,按照从左至右的顺序进行。例3:计算:二、应用四个原则:1、整体性原则: 乘除混合运算统一化乘,统一进行约分;加减混合运算按正负数分类,分别统一计算,或把带分数的整数、分数部分拆开,分别统一计算。 2、简明性原则:计算时尽量使步骤简明,能够一步计算出来的就同时算出来;运算中尽量运用简便方法,如五个运算律的运用。3、口算原则:在每一步的计算中,都尽量运用口算,口算是提高运算率的重要方法之一,习惯于口算,有助于培养反应能力和自信心。4、分段同时性原则: 对一个算式,一般可以将它分成若干小段,同时分别进行运算。如何分段呢?主要有:(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种:加、减、乘、除和乘方,其中加减为第一级运算,乘除为第二级运算,乘方为第三级运算。在运算中,低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段,然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来,最后再算出这几个加数的和。 把算式进行分段,关键是在计算前要认真审题,妥用整体观察的办法,分清运算符号,确定整个式子中有几个加号、减号,再以加减号为界进行分段,这是进行有理数混合运算行之有效的方法。 (2)括号分段法,有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外,还具有括号的作用,从运算顺序的角度来说,先计算绝对值符号里面的,因此绝对值符号也可以把算式分成几段,同时进行计算。(4)分数线分段法,分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。例2计算:-0.252()4-(-1)101(-2)2(-3)2说明:本题以加号、减号为界把整个算式分成三段,这三段分别计算出来的结果再相加。三、掌握运算技巧(1)、归类组合:将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合;将同类数(如正数或负数)归类计算。(2)、凑整:将相加可得整数的数凑整,将相加得零的数(如互为相反数)相消。(3)、分解:将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。(4)、约简:将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。(5)、倒序相加:利用运算律,改变运算顺序,简化计算。例 计算2+4+6+2000(6)、正逆用运算律:正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算而反过来,ab+ac=a(b+c)同样成立,有时逆用也可使运算简便。 例3计算:(1) -32(-84)+2.52+(+)24 (2)()()()() 四、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。 因此在运算时应把握“遇减化加遇除变乘,乘方化乘”,这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱,同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化:一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下,转化为小学里学的算术数的加法、乘法;二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法;三是将乘方运算转化为积的形式。若掌握了有理数的符号法则和转化手段,有理数的运算就能准确、快速地解决了。 例计算: (1) (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)(2) (-2)1(-4)(3) 22+(2-5)1-(-5)2六、会用三个概念的性质如果a,b互为相反数,那么a+b=O,a=-b;如果c,d互为倒数,那么cd=l,c=1/d;如果|x|=a(a0),那么x=a或-a。例6 已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于2,试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001的值。 有理数的混合运算典型例题例1 计算: 。分析:此算式以加、减分段, 应分为三段: , , 。这三段可以同时进行计算,先算乘方,再算乘除式中0.2化为 参加计算较为方便。 解:原式 说明:做有理数混合运算时,如果算式中不含有中括号、大括号,那么计算时一般用“加”、“减”号分段,使每段只含二、三级运算,这样各段可同时进行计算,有利于提高计算的速度和正确率。例2计算: 。分析:此题运算顺序是:第一步计算 和 ;第二步做乘法;第三步做乘方运算;第四步做除法。解:原式 说明:由此例题可以看出,括号在确定运算顺序上的作用,所以计算题也需认真审题。例3计算: 分析:要求 、 、的值,用笔算在短时间内是不可能的,必须另辟途径。观察题目发现,逆用乘法分配律,前三项可以凑成含有0的乘法运算,此题即可求出。解:原式 说明:“0”乘以任何数等于0。因为运用这一结论必能简化数的计算,所以运算中,能够凑成含“0”因数时,一般都凑成含有0的因数进行计算。当算式中的数字很大或很繁杂时,要注意使用这种“凑0法”。例4计算 分析: 是 的倒数,应当先把它化成分数后再求倒数;右边两项含绝对值号,应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值。解:原式 说明:对于有理数的混合运算,一定要按运算顺序进行运算,注意不要跳步,每一步的运算结果都应在算式中体现出来,此题(1)要注意区别小括号与绝对值的运算;(2)要熟练掌握乘方运算,注意(-0.1)3,-0.22,(-2)3,-32在意义上的不同。例5计算: 。分析:含有括号的混合运算,一般按小、中、大括号的顺序进行运算,括号里面仍然是先进行第三级运算,再进行第二级运算,最后进行第一级运算。解:原式 例6 计算 解法一:原式 解法二:原式 说明:加减混合运算时,带分数可以化为假分数,也可把带分数的整数部分与分数部分分别加减,这是因为带分数是一个整数和一个分数的和。例如:有理数的混合运算习题精选一、选择题1若 , ,则有( ) 。A B C D 2已知 ,当 时, ,当 时, 的值是( ) 。 A B44 C28 D173如果 ,那么 的值为( ) 。A0 B4 C4 D24代数式 取最小值时, 值为( )。 A B C D无法确定5六个整数的积 (修改为-36), 互不相等,则 ( ) 。 A0 B4 C6 D86计算 所得结果为( ) 。A2 B C D 二、填空题1有理数混合运算的顺序是_ 。2已知 为有理数,则 _0, _0, _0。(填“”、“”或“”)3平方得16的有理数是_,_的立方等于8。4 _。 5一个负数减去它的相反数后,再除以这个负数的绝对值,所得商为_。三、判断题1若 为任意有理数,则 。( )2 。( )3 。( )4 。( )5 。( )四、解答题1计算下列各题:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;(8) 。2若有理数 、 、 满足等式 ,试求 的值。3当 , 时,求代数式 的值。4已知如图2-11-1,横行和竖列的和相等,试求 的值。 5求 的值。6计算 。计算: 有理数的混合运算参考答案:一、1C 2C 3C 4B 5A 6B 二、1略;2,;3 , ;41;5 。三、1 2 345四、1(1) (2) (3) (4) (5)30(6) (7) (8) ; 2 , , ;3 ;4 , , ;5设 ,则 , ;6原式 。答案一、选择1、D 2、D 3、B 4、D 5、A 6、B 7、A 8、C二、填空9、2055 10、0 11、24 12、 13、3714、50 15、26 16、9 ,1。三、解答17、 , 1/3 ,13 , 3 ,21 /16 ,0 ,48, 0。 18、10 ,4 。 19、a、b互为相反数,a+b=0;m、n互为倒数,mn=1;x的 绝对值为2,x=2,当x=2时,原式=2+02=4;当x=2时,原式=2+0+2=0。20、(1)、53+1086+1210=0 机器人最后回到原点O,(2)、12 (3)、+=54,机器人可得到54粒芝麻。有理数混合运算练习题一、 填空题:1某天上午的温度是5,中午又上升了3,下午由于冷空气南下,到夜间又下降了9,则这天夜间的温度是 。2气温上升记作正,那么上升5的意思是 。35.7的相反数与7.1的绝对值的和是 。4已知是6的相反数,比的相反数小2,则等于 。5已知|a+2|+|b-3|=0,则=。6. 计算|-3.14|-的结果是。7在-7与37之间插入三个数,使这5个数中每相邻两个数之间的距离相等,则这三个数的和是。8、绝对值小于3的所有整数有 。9、观察下列数:1,2,3,4,5,6,7,8,9则前12项的和为 。10、某冷库的温度是零下24 ,下降6 后,又下降3 ,则两次变化后的温度是 。11、将有理数,由小到大的顺序排列正确的顺序是 。12、计算:(5)4 ,0(10.6)=
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