1 3 度 量 空 间 的 可 分性与完备性精品资料1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质 为实数空间R的可分性同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必 收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x B的任何邻域 0(x,)内都含有A的点，则称A在B中稠密若A B，通常称A是B的稠密子 集.注1 : A在B中稠密并不意味着有A B .例如有理数在无理数中稠密；有理 数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的， 说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) x B ， 斗 A，使得 lim d(xn,x) 0 ；n(3) B A (其中A AU A， A为a的闭包，A为A的导集(聚点集)；任取 0，有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组x A成的集合覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在C中稠密，贝U A在C中稠密.证明由定理1.1知B A， C B，而B是包含B的最小闭集，所以B B A，于是有C A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区 间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1)多项式函数集Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：连续函数空间Ca,b在有界可测函数集Ba,b中稠密.(3)有界可测函数集Ba,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ).利用稠密集的传递性 定理1.3.2可得：(4)连续函数空间Ca,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1p ).因此有 Pa,b Ca,b Ba,bLpa,b.定义1.3.2 设X是度量空间，A X，如果存在点列Xn A，且Xn在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分 的度量空间.注3： X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1 欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明 设Qn (帚2丄，rn)|i Q,i 1,2,L ,n为Rn中的有理数点集，显然Qn是可 数集，下证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点x (x , X2,L ,Xn)，寻找0中的点列rk，其中rk (,*,L ,*)，使得rkx(k ).由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数x (i 1,2,L ,n)，存在有理数列rk Xi(k ).于是得到Qn中的点列“，其中rk (,*,L ,rnk)， k 1,2, L .现证 rkx(k ) .0，由 rkx(k )知，Ki N，当 k K 时，有|rk x | ，i 1,2,L , nJnmaxQ,K2,L ,Kn，当 k K 时，对于 i1,2丄，n，都有|rk一，因此.n仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料即rkx(k )，从而知Qn在Rn中稠密.口例1.3.2连续函数空间Ca,b是可分的.具有有理系数的多项式的全体FOa,b在Ca,b中稠密，而FOa,b是可列集.证明 显然Foa,b是可列集.x(t) Ca,b，由Weierstrass多项式逼近定理知，x(t)可表示成一致收敛的多项式的极限，即0,存在(实系数)多项式P (t)，使得d(x,p) max|x(t)p(t)| 2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式Po(t) Foa,b，使得d(p ,po) max|p (t) po(t)| 2因此，d(x, po) d(x, p) d(p,po)，即 po(t) O(x,)，在 Ca,b中任意点 x(t)的任意邻域内必有P0a,b中的点，按照定义知P0a,b在Ca,b中稠密口例133p次幕可积函数空间Lpa,b是可分的.证明 由于P0a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集 Poa,b在 Lpa,b中稠密.口例1.3.4p次幕可和的数列空间lp是可分的.证明取 Eo (,L ,rn,0,L,0,L )|r Q,n N，显然Eo等价于UQn，可知Eo可n 1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料数，下面证Eo在lp中稠密.x (X1,X2 丄，Xn,L ) l p，|x |p ，1因此0， N N，当 n N 时,又因Q在R中稠密，对每个x(1 i|x|x|pN 12n)，存在rpQ，使得2N，(i1,2,3,L ,N)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#精品资料于是得N|xi 1令 X0(1,2 ,L ,N,0,L ,0,L ) E0，Nd (x),x)(1|xri |p1|Xii |p)1p p丄( )p22因此Eo在lp中稠密.口例1.3.5 设X 0,1，则离散度量空间(X,d。)是不可分的.证明假设(x,d)是可分的，则必有可列子集Xn X在X中稠密.又知X不是可列集，所以存在X* X，x* Xn.取2，则有O(x , ) x d(x,x )- x2即O(X*,)中不含中的点，与Xn在X中稠密相矛盾.思考题：离散度量空间(X,d0)可分的充要条件为X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如(0.625)10=(0.101)2 0.625 2=1.25取 1; 0.25 2=0.50取 0; 0.5 2=1.00取 1.二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2),第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推.即n 1(0X1X2L Xn)2 ( Xi )10，例如i 1 21 11(0.101)2=(二 1 丁 0 石 00(0.625)!。.2 48因此0,1与子集a X (X1,X2丄，Xn,L)Xn 0或1对等，由0,1不可数知A不可列.例1.3.6有界数列空间I是不可分的.l X (X1,X2L ,XL)=(Xi)| X为有界数列，对于 X (X), y (yj l，距离定义 为 d(x,y) suplx y | .i 1证明 考虑I中的子集A X (X1,X2丄，Xn,L ) Xn 0或1，则当x,y A , x y 时，有d(x, y) 1 .因为0,1 中每一个实数可用二进制表示，所以 A与0,1 对 应，故A不可列.假设l可分，即存在一个可列稠密子集 Aa，以Aa中每一点为心，以-为半径3作开球，所有这样的开球覆盖I ,也覆盖A .因A可列，而A不可列，则必有某 开球内含有A的不同的点，设X与y是这样的点，此开球中心为X0，于是1 1 21 d(X, y) d(x,X0) d(x,y)3 33矛盾，因此I不可分.1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在 R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设xn是度量空间X中的一个点列，若对任意0,存在N，当m,n N时，有d(xm,Xn)则称Xn是x中的一个基本列(或Cauchy列).定理1.3.3 (基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1)如果点列Xn收敛，则Xn是基本列；如果点列Xn是基本列，则Xn有界；(3)若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限 占八、证明设斗 X , x X，且耳X 贝u0 , NN，当nN时，d(xn,x)-，从而 n，m N 时，d(Xn , Xm ) d(Xn,X) d(X, Xm )2 2即得Xn是基本列.设Xn为一基本列，则对1，存在N，当n N时，有d(XN 1 ,Xn)1，记 M maxd(Xi,XN J,d(X2,XN J,L ,d(XN,XN 1),1 1，那么对任意的 m,n，均有d(Xn，Xm) d(Xn,XN J d(Xm，XN J M M 2M，即Xn有界.(3)设Xn为一基本列，且XnJ是Xn的收敛子列，Xn kX(k ).于是，0, N1 N，当 m,n 汕时，d(Xn,Xm)2 N，当 k N?时，d(Xn_x)-.取N maxM,N2，则当 nN，k N 时，n k k N，从而有d(Xn,X) d(Xn,Xnk) d(Xnk,X)，故 Xnx(n ) .注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收 敛列吗？例1.3.7 设X (0,1)， x, y X，定义d(x, y) x y，那么度量空间(X,d)的 点列Xn丄 是X的基本列，却不是X的收敛列.n 1证明对于任意的0,存在N N，使得N -，那么对于m N a及n N b，其中a,b N，有XnXm11a bN b 1N a 1(N a 1)(N b 1)maxa,bd ( Xn , Xm)a b 1(N a 1)(N b 1) Na Nb N，即得Xn是基本列显然lim丄 0 X，故Xn不是X的收敛列.n n 1或者利用Xn 丄是R上的基本列，可知0， N N，当n,m N时有n 11n 1 m 1于是可知Xn- 也是X上的基本列口n 1如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义134 完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收敛，则称X是完备的度量空间例138 n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明 由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R的完备性易得.口例139连续函数空间Ca,b是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,g) max| f (t) g(t) |)t a, b证明 设Xn是Ca,b中的基本列，即任给 0,存在N，当m,n N时，d(Xm,Xn)即maXXm(t)