高三数学第一轮复习学案 大江中学（第4课时 总第 导学案）主备人：谢卫生一、【课题】： 基本不等式二、【学习目标】1、理解均值定理及均值不等式的证明过程2、能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题3、在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。4、通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。三、【学习重难点】重点：应用数形结合的思想理解基本不等式难点：应用基本不等式求最大值和最小值四、自主学习1基本不等式， 若ab0,m0,则 ；若a,b同号且ab则。2均值不等式:两个正数的均值不等式： 变形，等。3最值定理:设（1）如果x,y是正数,且积,则xy时,（2）如果x,y是正数和,则x=y时,运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。 五、展示交流1. 已知，且，则的最大值为 .2. 若,则的最小值为 3. 已知：，且，则的最小值是 . 4. 已知下列四个结论当；的最小值为2；当无最大值.则其中正确的个数为 六、典型例析例1（1）已知，求函数的最大值.（2）求函数的最小值求的最大值.变式：（1）已知x、y为正实数，且，求x+y的最小值。（2） 已知，且，求的最大值例2 某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？变式1：某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8 m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5 m，BCD60，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？变式2：已知A(0,9) B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是x轴上任意一点，求当点C在何位置时，最大？七、课堂小结八、当堂检测1. 已知，则的最小值是 .2.若x，y是正数，则的最小值是 3. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 4已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 课后作业1、 已知x,yR+，x+y=p,xy=s，有下列命题（1）如果s是定值，那么当且仅当x=y时p的值最大（2）如果s是定值，那么当且仅当x=y时p的值最小（3）如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最大（4）如果p是定值，那么当且仅当x=y时s的值最小其中正确命题的序号是_.2、已知x2+y2=1，则(1xy)(1+xy)最大值为 ，最小值为 。3、 ，且恒成立，则实数的取值范围是_。4、ab0则的最小值是 。5、设x,yR+,x+y+xy=2，则x+y的最小值_。6、函数的最小值是_。7、函数图象上的最低点的坐标是 。8、已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是 。9、函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为 。10、将一块边长为42cm的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为_cm.11、已知，求证：12、已知，求证：(1) 已知：，求证：；13、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益为50万元.(1)问从第几年起开始获利?(2)若干年后,有两种处理方案:一是,年平均获利最大时,以26万元出售该船;二是,总纯收入获利最大时,以8万元出售该船.问:哪种方案合算?(注:取)1