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直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型运用的知识:1、两条直线垂直:则;两条直线垂直,则直线所在的向量2、韦达定理:若一元二次方程有两个不同的根,则。3、中点坐标公式:,其中是点的中点坐标。4、弦长公式:若点在直线上,则,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,或者。题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围解: 。题型二:弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N :交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线,。由消y整理,得 由直线和抛物线交于两点,得 即 由韦达定理,得:。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为:令y=0,得,则为正三角形,到直线AB的距离d为。 解得满足式, 此时。题型三:动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程;(II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论解:(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。从而椭圆的方程为(II)设,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根, 则,即点M的坐标为,同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为 ,直线MN的方程为:,令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:又, 椭圆的焦点为 ,即 故当时,MN过椭圆的焦点。题型四:过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E: 上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。 解:(I) ,且BC过椭圆的中心O 又 点C的坐标为。A是椭圆的右顶点, ,则椭圆方程为: 将点C代入方程,得,椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称,设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:,即,由消y,整理得:是方程的一个根,即同理可得:则直线PQ的斜率为定值。题型五:面积问题例题5、已知椭圆C:(ab0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值。解:()设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为。()设,。(1)当轴时,。(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为。由已知,得。把代入椭圆方程,整理得,。当且仅当,即时等号成立。当时,综上所述。当最大时,面积取最大值。问题六:范围问题(本质是函数问题)例6、设、分别是椭圆的左、右焦点。()若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;()设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。解:()易知 所以,设,则因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值()显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得: 由得:或 又,即 故由、得或题型七、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)例7、设椭圆E: (a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。解:(1)因为椭圆E: (a,b0)过M(2,) ,N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使, 需使,即,所以,所以又,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 时 因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即:
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