专题检测（三） 平面向量一、选择题1设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()ABC D解析：选A因为cakb(1k,2k)，又bc，所以1(1k)1(2k)0，解得k.2(2017贵州适应性考试)已知向量a(2,4)，b(1，1)，c(2,3)，若ab与c共线，则实数()A. BC. D解析：选B法一：ab(2，4)，c(2,3)，因为ab与c共线，所以必定存在唯一实数，使得abc，所以解得法二：ab(2，4)，c(2,3)，由ab与c共线可知，解得.3(2018届高三云南11校跨区调研)已知平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2，则|3ab|等于()A136B2C. D解析：选D依题意得a22，ab2cos 452，|3ab|.4在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. B.C. D.解析：选B因为2，所以2.又M是BC的中点，所以()().5(2017成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|1，|b|，则a2b与b的夹角是()A. B.C. D.解析：选A法一：因为|a2b|2|a|24|b|24ab1141cos 3，所以|a2b|，又(a2b)bab2|b|21cos 2，所以cosa2b，b，所以a2b与b的夹角为.法二：(特例法)设a(1,0)，b，则(a2b)b，|a2b| ，所以cosa2b，b，所以a2b与b的夹角为.6已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. BCD解析：选A由题意知(2,1)，(5,5)，则在方向上的投影为|cos，.7(2017安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则等于()A. B.C. D.解析：选C法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BDDECE，在ABD中，AD2BD2AB22BDABcos 6021221，即AD，同理可得AE，在ADE中，由余弦定理得cosDAE，所以|cosDAE.法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，所以，所以.8(2017东北四市模拟)已知向量(3,1)，(1,3)，mn (m0，n0)，若mn1，则|的最小值为()A. B.C. D.解析：选C由(3,1)，(1,3)，得mn(3mn，m3n)，因为mn1(m0，n0)，所以n1m且0m1，所以(12m,4m3)，则| (0m1)，所以当m时，|min.9已知向量m，n的模分别为，2，且m，n的夹角为45.在ABC中，2m2n，2m6n，2，则|()A2 B2C4 D8解析：选B因为2，所以点D为边BC的中点，所以()2m2n，所以|2|mn|22 2.10(2018届高三湘中名校联考)若点P是ABC的外心，且0，C120，则实数的值为()A BC1 D1解析：选C设AB中点为D，则2.因为0，所以20，所以向量，共线又P是ABC的外心，所以PAPB，所以PDAB，所以CDAB.因为ACB120，所以APB120，所以四边形APBC是菱形，从而2，所以20，所以1.11已知RtAOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a，b，a2b，则的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选A如图，设A(m,0)，B(0，n)，mn2，则a(1,0)，b(0,1)，a2b(1,2)，(m1，2)，(1，n2)，5(m2n)521，当且仅当m2n，即m2，n1时，等号成立12已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B.C. D.解析：选B如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则()2222.又|1，BAC60，故11.二、填空题13在ABC中，点O在线段BC的延长线上，且3，当xy时，则xy_.解析：()，xy2.答案：214已知a，b是非零向量，f(x)(axb)(bxa)的图象是一条直线，|ab|2，|a|1，则f(x)_.解析：由f(x)abx2(a2b2)xab的图象是一条直线，可得ab0.因为|ab|2，所以a2b24.因为|a|1，所以a21，b23，所以f(x)2x.答案：2x15(2017天津高考)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2， (R)，且4，则的值为_解析：法一：().又323，所以()2233454，解得.法二：以点A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C在第一象限，则A(0,0)，B(3,0)，C(1，)由2，得D ，由，得E(3，)，则(3，)(3)54，解得.答案：16定义平面向量的一种运算ab|ab|ab|sina，b，其中a，b是a与b的夹角，给出下列命题：若a，b90，则aba2b2；若|a|b|，则(ab)(ab)4ab；若|a|b|，则ab2|a|2；若a(1,2)，b(2,2)，则(ab)b.其中真命题的序号是_解析：中，因为a，b90，则ab|ab|ab|a2b2，所以成立；中，因为|a|b|，所以(ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因为|a|b|，所以ab|ab|ab|sina，b|ab|ab|2|a|2，所以成立；中，因为a(1,2)，b(2,2)，所以ab(1,4)，sin(ab)，b，所以(ab)b3，所以不成立故正确答案：