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二次函数压轴题解题技巧引言:解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐 含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条 件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思 路和方法当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条 件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。一、动态:动点、动线1如图,抛物线与x轴交于A(X1,0)、B(X2, 0)两点,且X1X2,与y轴交于点C(0, 4),其中Xi、X2是方程x2 2x 8 = 0的两个根.(1) 求这条抛物线的解析式;(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE/ AC交BC于点E,连接CP当厶CPE的面积最大时,求点 P的坐标;(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点, 是否存在这样的点 Q使厶QBC成为等腰三角 形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.二、圆/2. 如图1,在平面直角坐标系 xOy,二次函数y= ax + bx+ c(a 0)的图象顶点为 D,与y 轴交于点C,与x轴交于点 A B,点A在原点的左侧,点 B的坐标为(3 , 0) , OB= OCtan / ACO=(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M N,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆的半径长度;(3) 如图2,若点G2 , y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点, 当点P运动到什么位置时, AGP的面积最大?求此时点 P的坐标和厶AGP的最大面积.yD 图2三、比例比值取值范围3如图是二次函数 y =(x m)2 k的图象,其顶点坐标为M(l,-4).(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;5(2) 在二次函数的图象上是否存在点P,使S-PABSMAB,若存在,求出P点的坐标;4 s若不存在,请说明理由;(3) 将二次函数的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y = x b (b ::: 1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围四、探究型4.如图,直线y = 3x 3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、 另一点C( 3,0).求抛物线的解析式;在抛物线的对称轴上是否存在点0,使厶ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由五、最值类5.如图,在平面直角坐标系中, 二次函数y =x2 bx c的图象与x轴交于A B两点,A 点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3 )点,点P是直线BC下方 的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2) 连结PO PC并把 POC沿 CO翻折,得到四边形 poPc 那么是否存在点 P,使四 边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在请说明理由.(3) 当点P运动到什么位置时,四边形ABPC勺面积最大并求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC勺最大面积.课后作业1. 在平面直角坐标系中,已知A 4, 0) , B(1 , 0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C,过点C作圆的切线交x轴于点D.(1) 求点C的坐标和过 A B, C三点的抛物线的解析式;(2)求点D的坐标;(3)设平行于x轴的直线交抛物线于 E, F两点,问:是否存在以线段 EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径,若不存在,2. 已知:如图,在平面直角坐标系 xOy中,矩形OABC勺边0A在y轴的正半轴上,OC在x 轴的正半轴上,0A 2,0C= 3过原点0作/AOC勺平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DEI DC交0A于点E.(1) 求过点E、D C的抛物线的解析式;(2) 将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点 F,另一边与线段0C交于点G如果DF与(1 )中的抛物线交于另一点 M点M的横坐标为-,那么EF 5=2GC是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3) 对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q使得直线 GC与 AB的交点P与点CG构成的 PCG!等腰三角形?若存在, 请求出点C的坐标;若不存在, 请说明理由.23. 如图,抛物线 y= ax + bx+ c(a 0)与x轴交于 A 3, 0)、B两点,与y轴相交于点C(0 , 、,3).当x = 4和x= 2时,二次函数 y= ax 2+ bx+ c(a 0)的函数值y相等,连 结AC BC (1)求实数a, b, c的值;(2) 若点M N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结 MN将厶BMN沿MN翻折,B点恰好落在 AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;1 24. 如图,抛物线 y= x+bx 2与x轴交于 A B两点,与y轴交于C点,且A ( 1, 0).2求抛物线的解析式及顶点D的坐标;判断 ABC勺形状,证明你的结论;点Mm 0)是X轴上的一个动点,当面积最大5、如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(一1,0)、( 0, 3),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线 x= 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F .(1)求该二次函数的解析式;(2) 若设点P的横坐标为 m,试用含 m的代数式表示线段 PF的长;x= 1(3) 求厶PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标.6、在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-4, 0), B (0, -4), C (2, 0)三点.(1) 求抛物线的解析式;(2) 若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为 m, AMB的面积为S.求 S关于m的函数关系式,并求出 S的最大值.(3) 若点P是抛物线上的动点,点 Q是直线y=- x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.讨论等腰1 27、如图,已知抛物线 y=丄x + bx+ c与y轴相交于C,与x轴相交于 A、B,点A的坐标2为(2, 0),点C的坐标为(0, - 1).(1) 求抛物线的解析式;备用图(2) 点E是线段AC上一动点,过点 E作DE丄x轴于点D,连结。心,当厶DCE的面积 最大时,求点D的坐标;28 (武汉市中考)如图,已知抛物线 y = x + bx+ 3与x轴交于点B (3, 0),与y轴交于 点A, P是抛物线上的一个动点, 点P的横坐标为 m (m3),过点P作y轴的平行线PM , 交直线AB于点M .(1)求抛物线的解析式;(2) 若以AB为直径的O N与直线PM相切,求此时点 M的坐标;(3) 在点P的运动过程中, APM能否为等腰三角形?若能, 求出点M的坐标;若不能, 请说明理由.论直角三角形19、如已知:如图一次函数 y= - X+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数21 2 1y= x + bx+ c的图象与一次函数 y= x + 1的图象交于 B、C两点,与 x轴交于 D、E 2 2两点且D点坐标为(1, 0)( 1)求二次函数的解析式;(2)求四边形 BDEC的面积S;(3) 在x轴上是否存在点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求 出所有的点P,若不存在,请说明理由.10、(九市联考)如图,抛物线与 x轴交于A (- 1, 0 )、B ( 3, 0)两点,与y轴交于点C(0, - 3),设抛物线的顶点为 D .( 1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;(2) 以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?(3) 探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与 BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.讨论四边形211、二次函数y= x + px+ q( pv 0)图象与x轴交于 A、B两点,与y轴交于点C(0, - 1), ABC的面积为-.(1)求该二次函数的关系式;(2)过y轴上的一点 M ( 0, m)作y轴4的垂线,若该垂线与 ABC的外接圆有公共点,求 m的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形点D的坐标;若不存在,请说明理由.2017中考二次函数压轴题专题分类训练题型一:面积问题【例1】如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B求抛物线和直线 AB的解析式;(1)(2)(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由P,使 Sapab= Sa cab,求厶CAB的铅垂高CD及Sacab ;【变式练习】1.如图,在直角坐标系中,点 A的坐标为(一2, 0),连结OA将线段OA绕原点O顺时针旋 转120,得到线段OB(1)求点B的坐标;(2)求经过 A O B三点的抛物线的解析式;(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使厶BOC勺周长最小?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点戸是(2)中的抛物线上的动点, 且在x轴的下方,那么 PAB是否有最大面积? 若有,求出此时 P点的坐标及 PAB的最大面积;若没有,请说明理由.2.如图,抛物线 y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为 A (- 4, 0)、B(2, 0),与y轴交于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G( 1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)在直线EF上求一点耳使厶CDH勺周长最小,并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当 K运动到什么位置时, EFK的面积最大?并求出最大面积.3. 如图,已知:直线 y - -x 3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B C (1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y - 3上有一点P,使 ABO与 ADP相似,求出点 P的坐标;(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使 ADE的面积等于四边形APCE勺面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.题型二:构造直角
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