2015年普通高等学校招生全国统一考试全国1卷数学试卷分析2015.6.8 一整体解读试卷紧扣考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，宽角度、多视点、有层次地考查了学生的数学理性思维能力、对数学本质的理解能力及数学素养和潜能的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。1、回归教材，注重基础2015年新课标卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理（理科）、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型。同时，在立体几何、导数等题目上进行了一些微创新，与我国古代九章算术中的著名题目相联系，这些题目的设计回归教材和中学教学实际。2、适当设置题目难度与区分度与往年新课标卷相对比，今年的选填难度仍然设置在选择题和填空题的最后两道。尤其以选择题第12题和填空题第16道为代表。有的同学平时此类型的题目见的较少，需要在考场紧张的状态下独自解决，这考查了同学在压力状态下分析问题，解决问题的能力。对此，我们之前给出的建议是，不要在这类型的题目花费过多的时间，从而压缩了后面解答题部分的答题时间，同时也影响考试情绪。3、布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在解答题部分，文、理两科试卷均对高中数学中的重点内容时行了考查。包括数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数五大版块和三选一问题。以知识为载体，立意于能力，让数方法和数学思统方式贯穿于整个试题的解答过程之中。4、命题考察的沿续性2015年新课标卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。例如2015年新课标1卷理科选择题第7题与2014年新课标1卷文科第6题的命题方式基本完全一致。二考点分布1.理科集合0复数5函数5向量5简易逻辑5程序框图5线性规划5二项式定理5解三角形10几何证明选讲10坐标系与参数方程10不等式选讲10数列12概率与统计17导数17立体几何22解析几何222.文科集合5复数5线性规划5向量5简易逻辑5程序框图5函数10数列10几何证明选讲10坐标系与参数方程10不等式选讲10解三角形17概率与统计17导数17立体几何22解析几何22三试题及详解文科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合,则集合中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点，向量，则向量（A）（-7，-4） （B）（7,4） （C）（-1,4） （D）（1,4）（3）已知复数满足，则 （A） （B） （C） （D）（4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A） （B） （C） （D）（5）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与的两个交点，则（A）3 （B）6 （C）9 （D）12 （6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( A ) 14斛 ( B ) 22斛 ( C ) 36斛 ( D ) 66斛（7）已知是公差为1的等差数列,为的前项和，则，则（A） （B） （C）10 （D）12（8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（A） （B）（C） （D）（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且，则（A）- （B）- （C）- （D）-（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则（A） 1 ( B ) 2 ( C ) 4 ( D ) 8（12）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）在数列中，为的前项和。若，则（14）已知函数的图像在点处的切线过点（2,7），则 .（15）满足约束条件，则的最大值为 .（16）已知是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点当周长最小时，该三角形的面积为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知分别为内角的对边，（）若，求；（）设，且，求的面积.（18）（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，为与的交点平面（）证明：平面平面；（）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)46.65636.8289.81.61469108.8表中 =i, ， =i（）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（）以知这种产品的年利率与的关系为。根据（）的结果回答下列问题：（i） 年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 ，v1）,（u2 ， v2）， （un ， vn）,其回归线=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（20）（本小题满分12分）已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.（1）求的取值范围；（2）若 =12，其中为坐标原点，求.（21）.（本小题满分12分）设函数.（）讨论的导函数零点的个数；（）证明：当时，。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。(22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于点。（）若为的中点，证明是的切线； （）若，求的大小。（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求,的极坐标方程。（2）若直线C3的极坐标为=（）,设与的交点为,求的面积.（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数，则（1） 当时，求不等式的解集；（2） 若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.文科详解1.D【解析】：考察集合的基本运算，因为集合A=,集合B= ,共同元素只有8，14两个。所以答案选 D.2A【解析】：考察向量的坐标运算，设C ，x=-4+0=-4; y=-3+1=2,所以得C ， 得 = = 选A3C【解析】：考察考察复数的乘除运算，原式的=.选C4C【解析】：考察古典概型，用列举法，5个数选3个数组合在一起总共有10种可能，能作为一组勾股数只能是3、4、5，所以概率为. 所以答案选C 5B【解析】：考察椭圆的标准方程，以及通径，椭圆的焦点坐标为（2,0），所以C=2,a=4,过焦点且垂直于X轴的弦AB为通径，由 得 .答案选B6B【解析】：考察圆锥的体积，这题较新颖，活学活用，由弧长=8尺，再根据弧长公式, 得，R=尺，再根据圆锥体积公式，注意这是圆锥，所以代入算得V=35.5；米就有22斛 .答案选B7B【解析】：考察等差数列通项公式与求和公式，由，设,根据,得 ,所以 .答案选B8D【解析】：考察三角函数图像和单调性，由图像得T=2，所以，再代入点，所以 再根据单调区间 得x .答案D9C【解析】: 考察算法的循环结构，代入0,1,2可得到规律 ,所以要使得值小于0.01，得到最大为 ，n=7. 答案选C,10A【解析】:考察分段函数求值, 由 得a=7, 所以 ,选A,11B【解析】: 考察三视图的还原、表面积运算，还原之后是一个半个圆柱和半个球的组合体，算得的表面积为 = ,得r=2， 答案选B 12C【解析】：考察指数函数与对数函数，易知点（x，y）关于y=-x对称的点的坐标为（-y，-x），把（-y，-x）代入得-x=，化简得，代入2a-3=1解得a=2，选C 13【解析】考察等比数列定义及其前Sn计算,由题知an为等比数列，q=2，由数列前Sn易知n=614【解析】考察导数切线问题,求得切线斜率为，利用两点之间斜率等于切线斜率得a=115【解析】考察线性规划最值问题，代入三个交点（1,1）、（0,2）、（-1,0）求最大值易知（1，1)为最优解416【解析】考察双曲线最值问题,易知当左焦点F1和P、A三点共线时最小，解得P点为（-2，），所以-=-=-）=1217.【解析】（1）：由题设及正弦定理可得，又a=b,可得b=2c. 由余弦定理可得。（2） ：由（1）知，因为，由勾股定理得。故，得.所以的面积为1.18.【解析】（1）为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以，故平面BED。又平面ABCD,所以平面平面BED.（2）设，在菱形ABCD中，由，可得。因为所以在中，可得由平面ABCD，知为直角三角形，可得。由已知得，三棱锥故。从而可得.所以的面积为3，。故三棱锥的侧面积为19.【解析】（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费x的回归方程类型。（2） 令先建立y关于w的线性回归方程。由于，所以y关于w的线性回归方程为因此y关于x的线性回归方程为。（3）（）由（2）知，当49时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值（II）根据的结果知，年利润z的预报值。所以当取得最大值。故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。20.【解析】（1）由题设，可知直线为y=kx+1,因为直线与C