word 三、解答题1设对于事件、有，求、至少出现一个的概率。解：由于从而由性质4知，又由概率定义知，所以 ，从而由概率的加法公式得2设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？ 解：设表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品。如此。5件产品中恰有2件次品的取法共有种，即。于是所求概率为 /3一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个有放回。求：1第二次取出的是次品的概率；2两次都取到正品的概率；3第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品=1，2，如此 1第二次取到次品的概率为 2两次都取到正品的概率为3第一次取到正品，第二次取到次品的概率为4一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个不放回。求：1至少取到一个正品的概率；2第二次取到次品的概率；3恰有一次取到次品的概率。解：设表示：“第次取出的是正品=1，2，如此1至少取到一个正品的概率2第二次取到次品的概率为3恰有一次取到次品的概率为 5一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：1两件都是正品的概率； 2恰有一件次品的概率；3至少取到一件次品的概率。解：设表示：“取出的两件都是正品是正品；表示：“取出的两件恰有一件次品；表示：“取出的两件至少取到一件次品；如此1两件都是正品的概率2恰有一件次品的概率3至少取到一件次品的概率6一工人照看三台机床，在一小时，甲机床需要照看的概率是，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是和。求在一小时中，1没有一台机床需要照看的概率； 2至少有一台机床不需要照看的概率。解：设表示：“没有一台机床需要照看；表示：“至少有一台机床不需要照看“；表示：“第台机床需要照看=1，2，3。如此；。 7在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅与报的有10%，同时订阅与报的有8%，同时订阅与报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求如下事件的概率： 1只订阅与报；2恰好订阅两种报纸。 解：128一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：1取到的是白球的概率；2取到的是黑球的概率。解：设分别表示：“取到的是黑球、红球、白球=1，2，3，如此问题1化为求；问题2化为求。由题意两两互不相容，所以，1。因此由条件概率公式得29工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1） 该产品是次品的概率；（2） 假如取到的是次品，那么该产品是工厂的概率。解：设表示“取到的产品是次品；“取到的产品是工厂的；“取到的产品是工厂的。如此 （1） 取到的产品是次品的概率为2假如取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为 10有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设表示：“由甲袋取出的球是白球；表示：“由甲袋取出的球是黑球； 表示：“从乙袋取出的球是白球。如此 11设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：1取到的是次品的概率；2假如取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是次品；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的。 如此，且，两两互不相容，（1） 由全概率公式得2由贝叶斯公式得=12三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：1恰好取到不合格品的概率； 2假如取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是不合格品；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的。 如此，且，两两互不相容，由全概率公式得1 2由贝叶斯公式得= 13有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：( 1 ) 此人来迟的概率；( 2 ) 假如来迟了，此人乘火车来的概率。 解：设事件表示：“此人来迟了；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来，4。如此，且，两两互不相容1由全概率公式得 2由贝叶斯公式得=14有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只有放回，试求：1第一次取到的是一等品的概率；2两次都取到一等品的概率。解：设表示：“取到第箱零件；表示：“第次取到的是一等品；如此12 15设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 解：设表示：“第个电子元件被损坏=1，2，3，如此有；。依题意所求概率为16甲、乙两人各自同时向敌机射击，甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，求如下事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；2甲击中乙击不中；3乙击中甲击不中。解：设事件表示：“甲击中敌机；事件表示：“乙击中敌机；事件表示：“敌机被击中。如此 123 17，求。 解：由于所以18设，求。解：由于，而，故 。 19设事件、相互独立，。求：1； 2 。解：由即 解得所以 20设、为随机事件，且，求：1；2 。解：12 21设事件、相互独立，求：1； 2。解：由条件即 解得，所以1222设事件相互独立，试证明：1事件相互独立；2事件相互独立；3事件相互独立。证明：1欲证明相互独立，只需证即可。而所以事件相互独立。同理2由于所以事件相互独立。3由于所以事件相互独立。23假如，证明事件相互独立。证明：由于，且，所以从而有故由独立性定义知，事件相互独立。第二章 随机变量与其分布三、解答题1设的概率分布为 0 1 2 1/3 1/6 1/2 求：1的分布函数； 2、。解：1；。 2从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知服从二项分布，从而 ； ； 即的概率分布列为 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 由分布函数定义 3从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知服从二项分布，从而即的概率分布列为 0 1 2 3 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得4一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的概率分布。解：设：表示：“部件需要调整。；故的概率分布列为 0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 5某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，如此消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。解：的可能取值为1，2，。记表示“第次试验雷管发火如此表示“第次试验雷管不发火从而得 依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为6设随机变量的概率密度为，求：1系数；2的分布函数；3落在区间的概率。解：连续型随机变量的概率密度必须满足归一性，因此由归一性与定义可求出系数与的分布函数，至于3可由的分布函数求得。1由归一性，解得。2由连续型随机变量的定义知的分布函数为当时，=0；当时，当时，故的分布函数为3所求概率为 7设随机变量的分布函数为求：1系数； 2落在区间1，1中的概率； 3随机变量的概率密度。提示：为反正切函数解：1由，解得。故得23所求概率密度为8设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，试确定常数，并求概率。解：由归一性所以=2。即 所以，从而 =9在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间单位：分钟均服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。解 ：设表示每个人等车时间，且服从0，5上的均匀分布，其概率分布为 又设表示等车时间不超过2分钟的人数，如此，所求概率为 10在电源电压不超过200，200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求： 提示：（1） 该电子元件被损坏的概率（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200240伏的概率。 解：设：“电源电压不超过200伏；：“电源电压在200240伏；：“电源电压超过240伏；：“电子元件被埙坏。 由于，所以由题设,所以由全概率公式由