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第四章 四边形综合复习知识与技能:掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法,灵活运用这些知识进行有关的证明和计算;培养学生阅读的技能,进一步培养和发展学生的逻辑思维能力与推理论证能力。过程与方法:1、在综合问题解决过程中,学会阅读综合问题的方法,获取有价值的数据的方法; 2、经历综合问题的探索过程,学会分析问题的方法。 3、经历一题多解,多题一解,培养学生的发散思维,关注知识间的联系。情感态度与价值观:1、在问题解决过程中培养学生的数学素养和严谨的科学态度;2、在问题解决过程中,让学生获得成功体验。教学重点:阅读,对基本图形的认识。教学难点:审题,寻找解决问题的突破口。一、知识要点回顾:1.知识归纳:2.在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 。3.平行四边形的性质:与边有关的_。与角有关_ _,对角线_。4.矩形(1) 矩形具有平形四边形的所有性质, 还具有自己的性质: 矩形的每个角都是 ; 矩形的对角线 且 .5.菱形菱形具有平行四边形的一切性质, 还具有自己的性质:(1) 菱形的四条边都 ;(2) 菱形的对角线 6.正方形正方形具有矩形和菱形的一切性质. 注意:对角线与特殊四边形的关系1.对角线互相平分的四边形是平行四边形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形四、例题解析 例1:如图,在的纸片中,ACAB,AC与BD交于O,将ABC沿对角线AC翻折得到.(1)求证:以A、C、D、为顶点的四边形是矩形;(2)若, 求翻折后纸片重叠部分的面积,即. 意图:1、平行四边形的性质、矩形的判定定理的综合应用; 2、实现一题多解,有选择的运用矩形的判定定理,评析证明方法的优劣。 3、等积变换,以及对三角形底的选择直接影响到求面积的难易程度。 例2:我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题:(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;(2)探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时,这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论. 意图:如何实现构造两条线段之和及将夹角进行有效转移 例3:如图,已知中,平分,交于,于,交于,且。(1)试说明;(2)试问与之间有何数量关系?写出你的结论,并说明理由。 解法1:(见图1)延长到,使得,连结,实现将转化为线段;解法2:(见图2)延长到,使得,连结,实现将转化为线段;解法3:(见图3)延长到,使得,将绕点顺时针旋转,得到,实现将转化为线段;图1 图2 图3解法4:(见图4)如图建立平面直角坐标系,设, 则, , 可证得,则, 可求得,即 则 解法5:见图5:如图建立直角坐标系,解法同解法4 图4 图5将此题还原对比: 在中,平分交于点,证明: 还原图 例题图意图:1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和,运用了平移、旋转变换构造; 2、解法4、5均强调将几何问题代数化,初步渗透高中解析几何的思想。 体会(1)建立平面直角坐标系的可能。即存在直角。或有特殊的基本图形存在,如等腰直角三角形、正方形; (2)坐标原点和轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度。 3、关注题目中的重要条件,抓注基本特征,将图形有效还原。例4:如图,小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且FAEEAD,那么EFAE.又将正方形改为矩形、菱形和任意平行四边形(如图、图、图),其它条件不变,发现仍然有“EFAE”的结论.你同意小明的观点吗?若同意,请结合图加以证明;若不同意,请说明理由.例5:请阅读下列材料:问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结若,探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2)你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明对于例4、例5 意图:1、培养良好的审题习惯; 2、注意中点的作用; 3、注意在动中求静; 4、性质的熟练应用例6、1、已知:中,是边的中点,平分,于点。若,。求 2、点为函数的图象上的点,点的坐标分别为,。试用性质:函数的图象上任一点都满足,求解下面问题:做的平分线AE,过B作AE的垂线交AE于F,已知点A在函数的图象上运动时,点F总在一条曲线上运动,则此曲线为( )A、直线B、抛物线C、圆 D、反比例函数曲线意图:比较两题,2题比1题从字数上就多很多,但若认真审题会发现题干中有相同的条件,蕴涵着相同的基本图形。例7、已知:分别以的各边为边,在边的同侧作等边三角形、等边三角形 和等边三角形,连结。(1)试说明四边形为平行四边形;(2)当满足什么条件时,四边形为菱形、矩形、正方形;(3)四边形一定存在吗?试说明理由。意图:1、关注旋转全等形; 2、检验平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理的熟练程度;3、 逆向巩固练习:Ex1:在正方形中,为中点,点在上,且, 连接,试问与的位置关系如何?并说明理由。 (此题至少3种做法,其中倍长和建系做法尤佳) Ex2: 正方形ABCD边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点, 则DM+MN的最小值为 (注意正方形的对称性)Ex3:我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;(2)如图,在ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、 BE相交于点O,若,DCB=EBC=,请你写出图中一个与A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;(3)在ABC中,如果A是不等于60的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且DCB=EBC=.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.(针对例4、例5)EX4:如图,中,过点分别作的外角平分线的垂线, 为垂足。求证:(1); (2); (3)若过分别作的平分线的垂线,垂足分别为。 结论有无变化?请加以说明。 (针对例6)EX5:中,都是等边三角形。求四边形的面积。(针对例7)五、动点问题1.如图,ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN交BCA的外角平分线CF于点F,交ACB内角平分线CE于E(1)试说明EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论;(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想ABC的形状并证明你的结论2.如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动AQCDBP若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?(2) 若点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?3.如图,在中,点是的中点,过点的直线从与重合的位置开始,绕点作逆时针旋转,交OECBDAlOCBA(备用图)边于点过点作交直线于点,设直线的旋转角为(1)当 度时,四边形是等腰梯形,此时的长为 ;当 度时,四边形是直角梯形,此时的长为 ;(2)当时,判断四边形是否为菱形,并说明理由参考答案1.分析:(1)根据CE平分ACB,MNBC,找到相等的角,即OEC=ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO(2)利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形(3)利用已知条件及正方形的性质解答解答:解:(1)CE平分ACB,ACE=BCE,MNBC,OEC=ECB,OEC=OCE,OE=OC,同理,OC=OF,OE=OF(2)当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形如图AO=CO,EO=FO,四边形AECF为平行四边形,CE平分ACB,ACE= ACB,同理,ACF= ACG,ECF=ACE+ACF= (ACB+ACG)= 180=90,四边形AECF是矩形(3)ABC是直角三角形四边形AECF是正方形,ACEN,故AOM=90,MNBC,BCA=AOM,BCA=90,ABC是直角三角形点评:本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结
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