量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论 陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳745000) 摘要:轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通 过对易关系,得出轨道角动量并不能描写一个可观察量。然后运用力学量算符和波 函数的矩阵表示，在给定表象下,讨论电子自旋算符的表示及自旋波函数的构造。 接着讨论角动量的LS耦合，其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态， 并且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数 j的取值，进而分析角动量的J耦合 关键词:角动量;算符;对易关系;自旋;角动量耦合 The Disscussion of Angular Momentum and Its Coupling Question in Quantum Mechemics(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China)Abstract:First,using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics is the appropriate operatorthe, it discuss the representation of orbital angi momentum optrator in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text,at the same time it gets that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the communication relations.Then useing mechanical quantity operator and matrix representation of wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin wave funtion in a given reprentation .Next it discusse the LS coupling of angular momentum, in which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular momentum component,and through introdution the coupling and the non-coupling reprentation and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors, analyzeing the JJ coupling of angular momentum.Key words:angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum coupling; clebsh-gordan cofficient 0引言 量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献1,2,3,4,5,6 中都作过比较简明的阐述，但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于 角动量耦合的克莱布希-高登系数计算比较繁琐，大多数教材和文献中都是直接给 出或查表得到，只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算。本文对 量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道 角动量在直角坐标系下的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导，进而通过角 动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。接下来讨论自旋角动量的算符表示和波函数的矩阵形式。最后讨论角动量的LS耦合，主要通过比较耦合表 象与非耦合表象的异同，详细分析角动量的JJ耦合。1轨道角动量1.1轨道角动量算符=r p在直角笛卡儿坐标中的表示1.1.轨道角动量算符L三个分量算符为L=yp -zp=y-z xzyizyL二zp-xp二z-xyxy（1）i xzL=xp ppzyz=i xy -yx平方算符表示为L2=L2x+L2y+L2z=-2-z 22yzy + zx -x z + 2 xyyx.1.1.2推导轨道角动量在球极坐标中的算符表示笛卡儿坐标（x,y,z和球极坐标（r,0）之间的关系为x二rsinOcos,y二rsinOsinz二rcosOr2=x2+y2+z2,cosO二zy r,tan将r2=x2+y2+z2两边对x,y,分别求偏导数，得rxx二r二sinOsinr=y二sinOsinyr rzz=r二cosO|将 cosO =zr两边分别对x,y, 求偏导数，得Ox=1zrsinOr2x=1rcosOcos 0lzrl y=sin0r2y=rcos0sin 0 1zrlcos2 z=0sin0r2z=rsin0再将tan二yx两边分别对X,y,求偏导数，得(3) (4) (5)lysin 二-二-xsec2x2rsin0 lllcos(6)=ysec2crsin0z=0联立(4),(5),式)得r0x=xr+x0+x=sin0cos+1cos0cos1sin rr0 rsinO ry=yr+0y0+y .=sin0sin+1cos0sin+1cos rrOrsinO =r+0+zzrzOz二cosOTsinO rr01.1.3轨道角动量算符L=rp在球极坐标中的表示三个分量算符是Lx=i sinO+c tgOcosL= yi cosO ct gOsinLz=i三个分量算符的平方表示分别为(7)(8)222222sii2+2ctgOsin cosO+ctgOcos 2 2=2 L x 222+c tgOcos ctgO+cscOsis () O222222 cosO2 2ctgOsinosO+ctgOsin 222(9) Ly=222 +ctgOsin+ctgO+cscOcsisi() O2 22 Lz= 2算符平方表示为12 22222 1. (10) L=Lx+Ly+Lz=-sinO+22 sinOOOsinO1.2轨道角动量算符的对易关系,L,L之间的对易关系为三个分量Lxyz,L =i L Lxy z(11) Ly,Lz =i Lx ,L =i L Ly zx即L=i L (12) L2和L,L,L的对易关系为Lxyz,L2=0 Lx2L y,L =0 (13),L2=0 L z的三个分量L是厄米矢量算符，丄,L彼此不对易，意味着虽然L由此可见,轨道角 动量算符Lxyz但其并不能描写一个可观察量，不能描写量子力学中所谓轨道角动量这么一个矢量 力学量，即是说,量子力学中没有角动量矢量。虽然经典力学中有轨道角动量，对 应到量子力学中就有轨道角动量算符,却不存在轨道角动量，因此，轨道角动量矢量 是经典概念而不是量子概念。量子力学中没有轨道角动量矢量，但是，经典力学中 有轨道角动量，特别是有轨道角动量平方及轨道角动量在n方向上的投影。和L和L,而且L存在本征值和本值矢量完全集，可以描写对应到量子力学中就 有相应的算符Lnn22量子力学中轨道角动量平方以及轨道角动量n分量这样的力学量。2自旋角动量2.1自旋角动量算符自旋角动量算符满足的对易关系为S=i S (14) S在Sz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为S 01x=210S0-iy=2i0=0 S 1z20-1因为=4I=4S 01012 102 22x=2 10210=401其中I是单位矩阵。同样可得S2222 y=4,Sz=4从而可以得到S2二S2+S2+S2xyz=3 24所以 S2,S2xy,S2z和S2算符都是常数算符。并且Sx,Sy,Sz满足反对易关系Sx,Sy +=0Sy,Sz+=0Sz,Sx +=02.2自旋波函数在Sz表象中，自旋角动量的一般态可表示为X二c1x1(Sz)+c2x1(Sz) 2-2其中 X 1 X 0 1(Sz)= ,1(Sz)= 1J202同理可得(15) (16) (17) (18) (19)(20)X1(Sx)= 2XS= 1(y/2y) 21 1 ,xS=l(x) 21 -22 -1.(21)11,x1(Sy)= i -2 -i3总角动量(LS耦合)3.1基本关系之和，即为轨道角动量L=r p与自旋角动量S电子的总角动量J J=L+S 或Ja二La+Sa,a=x,y|由Z于 L与s属于不同自由度,相应的算符相互对易，即La,S0=0, a,=xv角动量仍满足角动量的普遍对易式JJ=i J 3.2下面讨论 J2,L2,JZ 的共同本征态波函数的一般形式可写为 (r,sz, t) = /1(r, t)x1(sz) + /2(r,t)xsz) 2 -1(2 采用(x,y,z,S表象,上式可以表示成(r,sz ,t)=10l(r ,t)1(r, t) 0+/2(r,t)l=2(r,t)归一化条件为/ +/dxdydz二(*11+ /* 2/2)dxdydz=1.88如果采用球极坐标(r,0),则本征函数表示成 (0,s 妙1(0),z)=1(0,)x1(sz) + /2(0,)x -(sz)= 22(0), 2,试令：(0,sz)二c1Ylml (0,)x1(sz)+c2Ylml(0,)x -1(sz) 2 2 征函数，曲满足Jz的本征方程Jz/ = (Lz+Sz )二m 1j 二m+2/只须 m1=m,m2=m+1, 有二c1Ylmx1+c2Ylm+1x21 2(22) (23)(24)(25) (26)(27) (28) (2作为 Jz的本(30)(31)的本征函数，应该满足J的本征方程又/作为J22 二L2+2SL2+ a L (32) 2/=L+S2+S二L2+S J即应该满足a L的本征方程。因为()2()()(Lx五Ly)a L二 aL+aL+aLxxyyzza L 的本征值为 l , -(l+l) (33)土用+ 1)1Ylm=l,m1 得 azLzYlmxl二m Ylmxl,22azLzYlm+1 x1=-(m+1) Ylm+lxl, (2-2axLx+ayLy)Ylmx1=(Lx+iLy)Ylmx122=l+m+1l-m Ylm+lxl,-2 (axLx+ayLy)Ylm+1-X=(Lx-iLy)Yi+1x122