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因式分解专题 培优把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:因式分解的一般方法及考虑顺序:1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法3、考虑顺序: (1 )提公因式法; (2)公式法; (3)十字相乘法; ( 4)分组分解法一、运用公式法在整式的乘、除中, 我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用, 即为因式分解中常用的公式,例如:(1) a2b2=(a+b)(ab);(2) a22ab+b2=(ab)2;(3) a3+b3=(a+b)(a2ab+b2);(4) a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式:(5) a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca=(a+b+c)2;(6) a3+b3+c33abc=( a+b+c)(a2+b2+c2abbcca);(7) an bn=(a b)(an1 + an 2b+an 3b2+abn-2+ bn J,其中 n 为正 整数;(8) an bn=(a+b)(an1 an 2b + an 3b2 +abn2 bn 1),其中 n 为 偶数;(9) an+ bn=(a+ b)(an 1 an 2b+ an3b2 abn 2+ bn 1),其中 n 为 奇数运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号 等正确恰当地选择公式例题 1 分解因式:n+2(1) 2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4;(2) x3 8y3 z3 6xyz;(3) a2+b2+c22bc+2ca2ab;(4) a7a5b2+a2b5b7例题 2 分解因式: a3+ b3+ c33abc 例题 3分解因式:x15 + x14 + x13+x2+x+1 .对应练习题分解因式:(1) x2n xn !y2 1;9 4 x10+x5 2(3)x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4x2 3 y2)4(x5+ x4+ x3+x2+x+1) 2 x5(5) 9( a- b)2+12( a2- b2)+4( a+b)2(a- b)2- 4(a- b- 1)(7) (x+y)3+2xy(1 x y) 1分组分解法(一)分组后能直接提公因式例题1 分解因式:am an bm bn但从“局分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,部”看,这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组, 后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系 .此类型分组的关键:分组后,每组内 可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.例题 2 分解因式: 2ax 10ay 5by bx2 、 xy x y 1对应练习题 分解因式:1、 a2 ab ac bc二)分组后能直接运用公式 例题 3 分解因式: x2 y2 ax ay例题 4 分解因式: a2 2ab b2 c2对应练习题 分解因式:223、 xx 9y 3y4、2z 2yz综合练习题 分解因式:31 ) x322x y xy222) axbxbx ax a b226xy 9y2 16a2 8a 1224) a2 6ab 12b 9b2 4a4 3 25) a4 2a3 a2 9227 ) x2xy xz yz y8) a2 2 2 2a b2 2b 2ab 19) y(y 2) (m 1)(m 1)10 )(a c)(a c) b(b 2a)( 11 )222a2(b c) b2(a c) c2 (a b) 2abc( 12 )a4 2a3b223a b342ab3 b4.2213 ) (ax by) (ay bx)3 3 3 3 3 3 3 3 314 ) xyz(xy z ) y z z x x y4 2 215 ) x4 2ax2 x a2 a3216 ) x3 3x2 (a 2)x 2a3317 )(x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次项系数为 1 的二次三项式2直接利用公式 x2 (p q)x pq (x p)(x q) 进行分解 .特点:( 1 )二次项系数是 1;(2)常数项是两个数的乘积;( 3)一次项系数是常数项的两因数的和 .例题1 分解因式:x 5X 6例题2 分解因式:x2 7x 6对应练习题分解因式:2(1) x 14x242 a 15a362,L x 4x 5 y2 2y 152 x 10x 24(二)二次项系数不为1的二次三项式ax2 bx ca1C1a条件:(1) a a2C2(2) C C1C2(3) b a1C2 a2Gb aQ? a?2分解结果: ax bx c= (x cJ(a2X C2)例题3 分解因式:3x211x 10对应练习题分解因式:2(1) 5x 7x 62(2) 3x 7x 22(三)二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式:a2 8ab 128b2分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,1 A=8b1 16b8b+( 16b)= 8b利用十字相乘法进行分解对应练习题分解因式:(1) x2 3xy 2y2(2) m2 6mn 8n2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式:2x2 7xy 6y2例题6 a2 ab 6b2分解因式:x2y2 3xy 2对应练习题分解因式:综合练习题 分解因式:631) 8x6 7x3 1222) 12x2 11xy 15y23) (x y)2 3(x y) 1024) (a b)2 4a 4b 35) x2 y2 5x2y 6x2226) m2 4mn 4n2 3m 6n 224xy 4y 2x 4y 32 2 2 28) 5(a b) 2 23(a2 b2) 10(a b)2229) 4x4xy 6x 3y y 102210)12(x y)2 11(x222y2 ) 2(x y)22 2 2 2思考:分解因式: abcx2 (a2b2 c2 )x abc定义:双十字相乘法用于对 Ax22、双十字相乘法Bxy Cy2 Dx Ey F 型多项式的分解因式二原式=(x 5y2)(x 2y 1)3x x9y 13y, 2x2 2(1) x xy 2y x 7y 62(2) 6x7xy 3y2xz 7yz 2z2aC2a2C1B,Gf2C2f1 E,a1 f2 a2 f1D则Ax 2 2 2 2 2ab(x y ) (a b )(xy 1) (a b )(x y)BxyCy2Dx EyF(axGyoy f2)例题7分解因困式:(1)x23xy10y2x 9y 2(2)x2xy6y2x 13y6解:(1)2 x23xy 10yx9y 2应用双十字相乘法:x2x2y12xy 5xy 3xy , 5y 4y 9y, x 2x x3xy 2xy xy , 4y 原式=(x 2y 3)( x 3y 2)对应练习题分解因式:3、十字相乘法进阶例题9 分解因式:例题 8 分解因式:y(y 1)(x21) x(2y2 2y 1)四、主元法例题 分解因式: x2 3xy 10y2 x 9y 2对应练习题 分解因式:22(1) x2 xy 6y2 x 13y 6(2) x2 xy 2y2 x 7y 622(3) 6x2 7xy 3y2 x 7y 222(4) a ab 6b 5a 35b并用一个新的字母替五、换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体, 代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰例题 1 分解因式: (x2+x+1)( x2+x+2) 12例题 2 分解因式: (x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2例题 3 分解因式: (x 1)(x 1)(x 3)(x 5) 9分析:型如abed e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题 4 分解因式: (x2 7x 6)(x2 x 6) 56.例题 5 分解因式: (x2+3 x+2)(4 x2+8 x+3) 90 例题 6 分解因式: 4(3x2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)2提示 : 可设 3x2 x 122A,x2 2x 3 B ,则 4x2 x 4 A B .例题 7 分解因式: x6 28x3 27例题 8 分解因式:4 4 2 2 2(a b)4 (a b)4 (a2 b2)2例题 9 分解因式:44(y 1)4 (y 3)4 272例题 9 对应练习 分解因式: a4 44 (a 4)4例题 10 分解因式: (x2+ xy+ y2)24xy(x2+y2)分析 :本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样 的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式,经常令u= x+ y, v= xy,用换元
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