因式分解专题 培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法3、考虑顺序： (1 )提公因式法； (2)公式法； (3)十字相乘法； ( 4)分组分解法一、运用公式法在整式的乘、除中， 我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用， 即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a2b2=(a+b)(ab)；(2) a22ab+b2=(ab)2；(3) a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)；(4) a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c33abc=( a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；(7) an bn=(a b)(an1 + an 2b+an 3b2+abn-2+ bn J,其中 n 为正 整数；(8) an bn=(a+b)(an1 an 2b + an 3b2 +abn2 bn 1)，其中 n 为 偶数；(9) an+ bn=(a+ b)(an 1 an 2b+ an3b2 abn 2+ bn 1)，其中 n 为 奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号 等正确恰当地选择公式例题 1 分解因式：n+2(1) 2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2) x3 8y3 z3 6xyz；(3) a2+b2+c22bc+2ca2ab；(4) a7a5b2+a2b5b7例题 2 分解因式： a3+ b3+ c33abc 例题 3分解因式：x15 + x14 + x13+x2+x+1 .对应练习题分解因式:(1) x2n xn !y2 1;9 4 x10+x5 2(3)x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4x2 3 y2)4(x5+ x4+ x3+x2+x+1) 2 x5(5) 9( a- b)2+12( a2- b2)+4( a+b)2(a- b)2- 4(a- b- 1)(7) (x+y)3+2xy(1 x y) 1分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：am an bm bn但从“局分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解,部”看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系 .此类型分组的关键：分组后，每组内 可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.例题 2 分解因式： 2ax 10ay 5by bx2 、 xy x y 1对应练习题 分解因式：1、 a2 ab ac bc二）分组后能直接运用公式 例题 3 分解因式： x2 y2 ax ay例题 4 分解因式： a2 2ab b2 c2对应练习题 分解因式：223、 xx 9y 3y4、2z 2yz综合练习题 分解因式：31 ) x322x y xy222) axbxbx ax a b226xy 9y2 16a2 8a 1224) a2 6ab 12b 9b2 4a4 3 25) a4 2a3 a2 9227 ) x2xy xz yz y8) a2 2 2 2a b2 2b 2ab 19) y(y 2) (m 1)(m 1)10 )(a c)(a c) b(b 2a)（ 11 ）222a2(b c) b2(a c) c2 (a b) 2abc（ 12 ）a4 2a3b223a b342ab3 b4.2213 ) (ax by) (ay bx)3 3 3 3 3 3 3 3 314 ) xyz(xy z ) y z z x x y4 2 215 ) x4 2ax2 x a2 a3216 ) x3 3x2 (a 2)x 2a3317 )(x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1 的二次三项式2直接利用公式 x2 （p q）x pq （x p）（x q） 进行分解 .特点：（ 1 ）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和 .例题1 分解因式：x 5X 6例题2 分解因式：x2 7x 6对应练习题分解因式:2(1) x 14x242 a 15a362,L x 4x 5 y2 2y 152 x 10x 24（二）二次项系数不为1的二次三项式ax2 bx ca1C1a条件：(1) a a2C2(2) C C1C2(3) b a1C2 a2Gb aQ? a?2分解结果： ax bx c= (x cJ(a2X C2)例题3 分解因式：3x211x 10对应练习题分解因式:2(1) 5x 7x 62(2) 3x 7x 22(三)二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式,1 A=8b1 16b8b+( 16b)= 8b利用十字相乘法进行分解对应练习题分解因式：(1) x2 3xy 2y2(2) m2 6mn 8n2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：2x2 7xy 6y2例题6 a2 ab 6b2分解因式：x2y2 3xy 2对应练习题分解因式：综合练习题 分解因式：631) 8x6 7x3 1222) 12x2 11xy 15y23) (x y)2 3(x y) 1024) (a b)2 4a 4b 35) x2 y2 5x2y 6x2226) m2 4mn 4n2 3m 6n 224xy 4y 2x 4y 32 2 2 28) 5(a b) 2 23(a2 b2) 10(a b)2229) 4x4xy 6x 3y y 102210)12(x y)2 11(x222y2 ) 2(x y)22 2 2 2思考：分解因式： abcx2 (a2b2 c2 )x abc定义：双十字相乘法用于对 Ax22、双十字相乘法Bxy Cy2 Dx Ey F 型多项式的分解因式二原式=(x 5y2)(x 2y 1)3x x9y 13y, 2x2 2(1) x xy 2y x 7y 62(2) 6x7xy 3y2xz 7yz 2z2aC2a2C1B，Gf2C2f1 E，a1 f2 a2 f1D则Ax 2 2 2 2 2ab(x y ) (a b )(xy 1) (a b )(x y)BxyCy2Dx EyF(axGyoy f2)例题7分解因困式：(1)x23xy10y2x 9y 2(2)x2xy6y2x 13y6解:(1)2 x23xy 10yx9y 2应用双十字相乘法：x2x2y12xy 5xy 3xy , 5y 4y 9y, x 2x x3xy 2xy xy , 4y 原式=(x 2y 3)( x 3y 2)对应练习题分解因式:3、十字相乘法进阶例题9 分解因式:例题 8 分解因式：y(y 1)(x21) x(2y2 2y 1)四、主元法例题 分解因式： x2 3xy 10y2 x 9y 2对应练习题 分解因式：22(1) x2 xy 6y2 x 13y 6(2) x2 xy 2y2 x 7y 622(3) 6x2 7xy 3y2 x 7y 222(4) a ab 6b 5a 35b并用一个新的字母替五、换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体， 代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例题 1 分解因式： (x2+x+1)( x2+x+2) 12例题 2 分解因式： (x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2例题 3 分解因式： (x 1)(x 1)(x 3)(x 5) 9分析：型如abed e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题 4 分解因式： (x2 7x 6)(x2 x 6) 56.例题 5 分解因式： (x2+3 x+2)(4 x2+8 x+3) 90 例题 6 分解因式： 4(3x2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)2提示 : 可设 3x2 x 122A,x2 2x 3 B ，则 4x2 x 4 A B .例题 7 分解因式： x6 28x3 27例题 8 分解因式：4 4 2 2 2(a b)4 (a b)4 (a2 b2)2例题 9 分解因式：44(y 1)4 (y 3)4 272例题 9 对应练习 分解因式： a4 44 (a 4)4例题 10 分解因式： (x2+ xy+ y2)24xy(x2+y2)分析 ：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样 的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u= x+ y， v= xy，用换元