2.2 向量的线性运算一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量加、减法和数乘运算理解与实数的运算比较,注意运算法则的异同,理解共线定理的应用向量共线定理理解向量的线性运算性质及其几何意义了解二、 预习指导1. 预习目标(1)理解向量加法的定义；掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则；(2)理解相反向量的概念，掌握向量减法运算的法则并结合平面上的三角形、四边形等图形进行向量的加、减法运算；(3)理解两个向量共线的充要条件，能用已知向量去表示与它共线的向量，能通过向量的加减运算及实数与向量的积的运算，判断两个向量是否共线2. 预习提纲(1) 向量的加法回忆物理中矢量加法的相关知识，阅读教材P5961内容，阅读课本上的例题.例1讲的是向量的加法，计算时要善于把向量放到具体的三角形或平行四边形中，灵活应用两种加法法则思考：在四边形ABCD中，等于什么？n个首尾相连的向量的和向量有何特点？例2讲的是向量的加法的实际应用，解决这类问题的基本步骤是将实际问题的量用向量表示、画图、用向量的加法解决问题(2) 向量的减法回忆物理中矢量减法的相关知识，阅读教材P6163内容，阅读课本上的例题.例1中向量的减法的作图说明当起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是例2体会将一个向量表示成几个向量的和或差的方法，这种“由简化繁”在数学证明中常常用到(3) 向量的数乘阅读教材P6364内容，阅读课本上的例题.例2让我们认识到向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似.(4) 向量共线定理阅读教材P6466内容，思考向量的数乘与实数的乘积有何异同？共线向量定理中为什么要规定？阅读课本上的例4，回答下列问题如果0，0时，点C分别在直线AB的什么位置上？当C与A重合时，的值为0；当C与B重合时，满足关系式的还存在吗？3. 典型例题(1) 向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则是等价的，具体应用时三角形法则要求“首尾连接”，平行四边形法则要求“共起点”，由已知向量表示未知的向量例1 如图，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA的中点.求证：(1)；(2).分析：求两个向量的和，当两向量的起点相同时，可以用平行四边形法则，当一个向量的终点为另一个向量的起点时，可以用三角形法则.证明：(1)在中，由向量加法的三角形法则知： ，同理中，由向量加法的三角形法则知：,所以(2)因为点D、E、F分别为三边的中点，则四边形ADEF为平行四边形，则,同理四边形BEFD中，,四边形CFDE中，,将以上三式相加得： .例2 已知正六边形ABCDEF，O是它的中心若，试用、表示向量 分析：结合图形性质，准确灵活应用三角形法则和平行四边形法则是向量加法运算的关键解：由图可知=，在四边形ABCO中，根据平行四边形法，则=+=；由三角形法则可知=+=+=+；=+=+=点评：此题属于用已知向量表示未知向量，尽量把未知向量放在三角形中，利用向量加法法则向已知量转化，注意相反向量和向量和为零的向量(2) 向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算，向量的减法满足三角形法则，运用三角形法则解决问题.例3 化简：.分析：常有三种方法进行向量的加、减运算：(1)利用统一成加法运算；(2)利用统一减法运算；(3)利用进行合并运算解：解法一: 解法二: 解法三: 点评：解决此类问题的一般方法是根据式子的特点重新组合，将首尾相接的向量分在一起，并灵活运用相反向量变形特别是逆用向量减法例4 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若，求证：+ 分析：本题解法很多，通过一题多解，加深对向量加减法概念的理解，熟悉加减法运算的法则 证明：在平行四边形ABCD中， 点评：本题的其他证法，如或等等，可根据不同的思考给出不同的解答 (3) 向量的数乘了解向量数乘运算与加法的联系，及向量数乘的几何意义，向量共线定理对于证明三点共线的问题有很多应用例5 计算(1)6-4-5(2-3)+(+7)；(2).分析：运用运算律，类比合并同类项求解解：(1) 原式6-6-+15+713-7；(2) 原式.点评：向量的线性运算类似与代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中可以使用.例6 在中，交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N设，用表示向量分析：本题除要进行向量的加减运算外，还有数乘向量运算，同时还要利用相似三角形来解决.ABCDENM解：又是的中线，则，例7 (1)已知，满足，求证：，共线；(2)设两个非零向量和不共线，如果23，623，48，求证：A、B、D三点共线.分析：解决向量共线问题，就要根据向量共线的条件，此题考查向量共线定理证明：(1)由，得，所以，共线(2)2362348 12186(23)6，即向量与共线，且又有相同起点A，A、B、D三点共线点评：本题给出了利用向量共线定理证明三点共线的方法，关键是能否找到惟一的实数使先证向量共线，再证三点共线例8 已知和是两个不共线的向量，=，=，=，若A、B、D三点共线，试求实数的值分析：解决本题首先由三点共线得两个向量共线，再利用向量共线定理存在惟一实数，使，最后利用待定系数法求解解：，且A、B、D三点共线， 向量与共线，因此存在实数，使得=，即=与是两不共线的向量，于是根据向量相等的条件，可得 故当A、B、D三点共线时，=3点评：求参数时，要充分利用向量共线定理和待定系数法求解例9 (1)已知为两个不共线的向量，且，其中，t是实数求证：(1t)t；(2)在ABC中，P是AB边的中点，求证：.分析：(1)中由t可知A、P、B三点共线，对直线外任意一点，结论可知可以表示为与的线性组合，且其系数之和为(2)是(1)的一个特殊情形，对于关系(1t)t，则有其另外的意义，在后面的教学中还会涉及下面看一看当t分别取0，1，1，时，点P在直线AB上的位置：当t0时，P与A重合；当t1时，P与B重合；当t1时，P在BA的延长线上，且|AP|AB|证明：(1)t (tR)， (加法法则) t (已知条件置换) t() (减法法则) tt (运算律) (1t) t (运算律)(2) P是AB的中点，则()，()()4. 自我检测1化简： (1)+()+；(2)化简：+；(3) (28)(42)= .2在正六边形ABCDEF中，O为中心，若，则_, _._.3已知四边形ABCD是正方形，E是DC中点，且=，=，则等于 4在矩形ABCD中，|AD| = 的大小和方向 5下列命题：在中必有；若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；若、均为非零向量，则|与| 一定相等其中真命题的个数为三、 课后巩固练习A组1化简：(1) ；(2)= ；(3) 已知：3，则= 2设四边形ABCD是平行四边形，则等于 3正方形ABCD的边长为1，则_.4若 D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则= 5. 以下四个命题 ：若 ；|+| |+|；如果非零向量与的方向相同或相反，那么+的方向必与、之一相同；(+)+ + = ()+.其中正确的序号是 6设P是ABC所在平面内的一点，则= 7已知ABC是正三角形，以下等式：| = ； ；，其中不成立的序号为8已知向量，的模分别为1，2，3，则的最大值为 ；此时，的方向 9.若点O为ABC所在平面上一点，且满足，则ABC的形状是 .10若M、N、P三点共线，且，则= 11若，是不共线的向量，与k共线，求实数k的值 12已知，是不共线向量，若，6，且/，则k的值为13在四边形中，其中不共线，则四边形的形状为 _14已知中，点在边上，且，则的值是 15，不共线，且， 如果A，B，C三点共线，则所满足的条件是 16四边形ABCD是一个梯形，且M、N分别是DC、AB的中点，已知试用表示 B组17已知分别是的边上的中线，且，则可用向量表示为 18ABC的平面上有点P，满足条件：，试确定点P的位置19已知四边形ABCD满足,求证：四边形ABCD是梯形20已知平面上不共线的三点O，A，B，是实数，如果=1，且=+，则点P在何处？21已知、是两个不共线但共起点的非零向量，为何值时，三向量的终点在一直线上()？ BDECFOA22如图，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，O是DC的三等分点，(1)用，表示向量、；(2)求证B、E、F三点共线 23已知向量，的模分别为5，12，(1)求的取值范围；(2)当满足什么条件时，=1324设是两个非零向量，则下列说法正确的序号为 .若,则.若，则.若，则存在实数，使得.若存在实数，使得,则25要使下列结论成立，问非零向量应分别满足什么条件？(1)； (2)；(3)；(4)与是共线向量；26已知向量，满足=1，则= .27若非零向量满足，则下列结论中正确的是_22 2222 22 C组28、设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且,则称调和分割,已知平面上的点，调和分割点则下面说法正确的是 可能是线段的中点 可能是线段的中点，可能