习题1第一章 复数及复变函数 1.求|z|，Argz解：Argz=arctan+2k=, 2,试用指数形式表示解：所以3 解二项方程 解 由得那么二次方程的根为 k=0,1,2,3 = k=0,1,2,3(1+i)4 .设、是两个复数，求证：证明：5 设三点适合条件：及试证明是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点。证明：设，因为又因为三点在单位圆周上，且有而同理可知即是一个内接于单位圆周的正三角形的顶点得证。6以下关系表示的点z的轨迹是什么图形？他是不是区域？ 1令,由得即,所以,故以虚轴为左界的右半平面;是区域2且解:由且得:且 即为如图阴影所示不包括上下边界;不是区域。7.证明：z平面上的直线方程可以写成(a是非零复常数，c是实常数) 证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0 (a,b,c均是实常数，a,b不全为零) 因为：x = , y = 代入简化得：令得反之逆推可得设有方程复数，c是常数用代入上式，且令化简即得。8.试证：复平面上三点a+bi,0,共直线。证明： 因为=实数所以三点共直线。9求下面方程给出的曲线z= 解:令z= =得 x=,y= 那么有,故曲线为一椭圆. 10函数w=将z平面上曲线变成w平面上的什么曲线1+ =4解:由于+= 4 ,又由于 w=所以那么这表示在w平面上以原点为圆心,为半径的一个圆周.2解:将代入变换=,得=于是=,且故 解得这表示平面上的一个以()为圆心,为半径的圆周.3 解：因为 即 即 将 及 代入得： 即 因此 (可任意取值)表示平面上平行于虚轴的直线。11. 求证：在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续. 证 设,使角形区域及负实轴不相交,从图上立即可以看出,以为中心,到射线的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取.那么当时就有.因此在的任意性,知在所述区域内为连续. 设是负实轴上任意一点,那么 及 故在负实轴上为不连续.如以下图12.命函数 试证： 在原点不连续。证明：当点沿趋于时， 当取不同值时，趋于不同的数在原点处不连续。13. 流体在某点M的速度v=-1-i，求其大小和方向。解 大小：|v|=； 方向：arg v=arctan 。14. ；还有为整数15.将复数 化为指数形式。解 =2sin =2sin=2sine 16.对于复数.，假设=0，那么.至少有一为零.试证之。 证 假设=0，那么必 |=0，因而 |=0. 由实数域中的对应结果知|.|.至少有一为零.17.计算.解 因-8=-8(),故 (k=0,1,2)当k=0时, =当k=1时, 当k=2时, 18.设及是两个复数，试证并应用此等式证明三角不等式(1.2)。证：其次，由所证等式以及就可导出三角不等式(1.2)。19. 连接及两点的线段的参数方程为过 及两点的直线的参数方程为由此可知,三点 共线的充要条件为 (t为一非零实数)20求证：三个复数，成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式 证 ：是等边三角形的充要条件为：向量绕旋转或即得向量，也就是即即两端平方化简，即得21.试证：点集E的边界是闭集。即证证：设z为的聚点。取z的任意邻域，那么存在使得且。在内能画出以为心，充分小半径的圆。这时由可见，在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在。于是，在内属于E的点和不属于E的点都存在，故。因此是闭集。22.设有函数=z,试问它把z平面上的以下曲线分别变成平面上的何种曲线？1以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧；2倾角的直线可以看成两条射线及；3双曲线x-y=4.解 设=,那么 ，由此，1当z的模为2，辐角由0变至时，对应的的模为4，辐角由0变至 .故在平面上的对应图形为：以原点为心，4为半径，在轴上方的半圆周.2倾角的直线在平面上对应的图形为射线.3因，故，所以平面上的双曲线在平面上的像为直线.