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解答题滚动练解答题滚动练11.(2017届长郡中学模拟)四边形ABCD如图所示,已知ABBCCD2,AD2.(1)求cos Acos C的值;(2)记ABD与BCD的面积分别是S1与S2,求SS的最大值.解(1)在ABD中,BD2AB2AD22ABADcos A168cos A,在BCD中,BD2BC2CD22BCCDcos C88cos C,所以cos Acos C1.(2)依题意SAB2AD2sin2A1212cos2A,SBC2CD2sin2C44cos2C,所以SS1212cos2A44cos2C164(cos C1)24cos2C8cos2C8cos C128214,因为22BD4,所以88cos CBD2.解得1cos C1,所以SS14,当cos C时取等号,即SS的最大值为14.2.已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设bn,数列的前n项和为Tn,求证: Tn.(1)解等差数列an的公差为2,前n项和为Sn, Snna1dn2nna1,S1,S2,S4成等比数列,SS1S4,即(2222a1)2a1(4244a1),化为(1a1)2a1(3a1),解得a11.ana1(n1)d12(n1)2n1.(2)证明由(1)可得an2n1,则bn,Tnb1b2b3bn.nN*,0,即Tn.综上所述, Tn.3.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ACC1A1底面ABC, A1AC60, AC2AA14,点D, E分别是AA1, BC的中点.(1)证明: DE平面A1B1C;(2)若AB2, BAC60,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.(1)证明取AC的中点F,连接DF, EF, E是BC的中点, EFAB, ABCA1B1C1是三棱柱, ABA1B1, EFA1B1, EF平面A1B1C, D是AA1的中点, DFA1C, DF平面A1B1C.又EFDFF,平面DEF平面A1B1C, DE平面A1B1C.(2)解过点A1作A1OAC,垂足为O,连接OB,侧面ACC1A1底面ABC, A1O平面ABC, A1OOB, A1OOC.A1AC60, AA12, OA1,OA1, AB2,OAB60,由余弦定理,得OB2OA2AB22OAABcosBAC3, OB,AOB90, OBAC,分别以OB,OC,OA1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,由题设可得A(0,1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D,E,(,1,0),(0,1,).设m是平面ABB1A1的一个法向量,则即令z11,m(1,1),cosm,直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为.4.已知函数f(x)x2x,g(x)exax1.(1)讨论函数g(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.解(1)g(x)exa.当a0时,g(x)0,g(x)在(,)上单调递增.当a0时,当x(,ln a)时,g(x)0,g(x)单调递减;当x(ln a,)时,g(x)0,g(x)单调递增.(2)当x0时,x2xexax1,即ax1.令h(x)x1(x0),则h(x).令F(x)ex(x1)x21(x0),则F(x)x(ex2).当x(0,ln 2)时,F(x)0,F(x)单调递减;当x(ln 2,)时,F(x)0,F(x)单调递增.又F(0)0,F(1)0,所以当x(0,1)时,F(x)0,即h(x)0,h(x)单调递减,当x(1,)时,F(x)(x1)(exx1)0,即h(x)0,h(x)单调递增.所以h(x)minh(1)e1,所以a(,e1.
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