1 1第三节平面向量的数量积及平面向量的应用【考纲下载】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y201若abac，则bc吗？为什么？提示：不一定a0时不成立，另外a0时，由数量积概念可知b与c不能确定2等式(ab)ca(bc)成立吗？为什么？提示：(ab)ca(bc)不一定成立(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等3|ab|与|a|b|的大小之间有什么关系？提示：|ab|a|b|.因为ab|a|b|cos ，所以|ab|a|b|cos |a|b|.1若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60 C120 D150解析：选C(2ab)b0，2abb20，2|a|b|cos |b|20.又|a|b|，2cos 10，即cos .又0，即a与b的夹角为120.2已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 B C. D1解析：选Da(1，1)，b(2，x)，ab1，2x1，即x1.3设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B. C. D.解析：选B|a2b| .4(20xx新课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，ct a(1t)b.若bc0，则t_.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0，得bt a(1t)b0，即t ab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案： 25(20xx新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：选向量的基底为，则，那么()2.答案：2 前沿热点(五)与平面向量有关的交汇问题1平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新2此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用平面向量数量积的公式和性质典例(20xx安徽高考)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A2 B2 C4 D4解题指导根据条件|2，可设A(2, 0)，B(1，)，(x，y)利用，以及|1建立关于x，y的不等式，从而将问题转化为线性规划问题求解解析由|2，知，.设(2,0)，(1，)，(x，y)，则解得由|1，得|xy|2y|2.作可行域如图则所求面积S244.答案D 名师点评解决本题的关键有以下几点：(1)根据已知条件，恰当设出A，B两点的坐标，将其转化为向量的坐标运算，这是解决此题的突破口(2)正确列出及关于x，y的不等式组(3)准确画出不等式组所表示的平面区域，并算得面积已知两点M(3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且|0，则动点P(x，y)到点M(3,0)的距离d的最小值为()A2 B3 C4 D6解析：选B因为M(3,0)，N(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|0，得66(x3)0，化简得y212x，所以点M是抛物线y212x的焦点，所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M(3,0)的距离，所以dmin3.