高考数学精品复习资料 2019.520xx高考数学总复习-函数专题-抽象函数一、例 题选讲1、已知f定义域是（1，2），则函数f的定义域是 ；2、若f(x)是奇函数，且（0，+）上增函数，又f(2)=0，则0的解集是 ；3、已知f(x)是偶函数，并且对定义域内任意x，满足f(x+2)=,若当3x0时, f(x)1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意x，f(x) 0；(3)证明：f(x)是R上的增函数。6、已知f(x)是R上的不恒等于0的函数，且对任意a、b，有f(ab) = bf(a)+af(b).(1)求f(0)、f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明。7、定义在上的函数，当x1时, f(x)0, 且对任意的a、b，都有f(ab)=f(a)f(b).(1) f(1)=0;(2)证明：f(x)是上的增函数；(3)证明：, f()=-f(x) (n).8、函数f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x0,时, f(x) 1。(1)证明：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(30,时, f(x) 1。(1) 证明：f(x)是R上的增函数；(2)若f(3)=4,解关于a的不等式f(0,时, f(x)0.(1)判断f(x)的奇偶性，并证明。(2)判断函数f(x)的单调性。(3)若f(1)=-3解关于a的不等式f(0.(1)判断f(x) 在(-1,1)上的奇偶性，并证明;(2)判断f(x) 在(0,1)上的单调性，并证明;(3)若 ， 试求 的值。二、课时作业1. 已知函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)f (m),求实数m的取值范围分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.（1）解：令，则（2）数列是以为首项,1为公差的等差数列,故=(3)任取,则 =函数是R上的单调增函数.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:. (1)解: 对任意,有0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=,试确定的取值范围.证明(1):令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明: 任取,则,0,故0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则,故把代入F得, =-函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.17.(1)解:为R上的奇函数, 对任意都有,令则=0(2)证明: 为R上的奇函数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18函数对于x0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。证明：(1)令，则，故（2），令，则， 成立的x的取值范围是。19设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个