自由曲面在空间光学中的应用在当今的生活中，自由曲面（Free-form）扮演着越来越重要的角色。如汽车车身、飞机机翼和轮船船体的曲线和曲面都是自由曲面。到底什么是自由曲面？简单来讲，在工业上我们认为就是不能用初等解析函数完全清楚的表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究；在光学系统中，光学自由曲面没有严格确切的定义，通常是指无法用球面或者非球面系数来表示的光学曲面，主要是指非旋转对称的曲面或者只能用参数向量来表示的曲面。在我们的日常生活中，打印机、复印机以及彩色CRT中都会用到光学自由曲面。鉴于光学自由曲面在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，所以，以下就自由曲面在空间光学方面的情况进行了调研。一、自由曲面简介光学自由曲面没有严格确切的定义，通常指无法用球面或者非球面系数来表示的光学曲面，主要是指非旋转对称的曲面或者只能用参数向量来表示的曲面。光学自由曲面已经渗透到我们生活中的各个角落，如能改善人类视觉质量的渐进多焦点眼镜，就是自由曲面技术在眼用光学镜片中的成功应用。自由曲面光学镜片主要有两种：一是自然形成的曲面；二是人工形成的曲面。人工形成的自由曲面又分为一次成型和加工成型两种形式。二、自由曲面运用的原因空间遥感光学系统是在离地200km（低轨卫星）以上的轨道对地面目标或空间目标进行光学信息获取，具有遥感成像距离远的特点。如何在几百公里遥感距离下获得较高分辨率的同时保证较宽的成像幅宽是推动空间遥感光学不断发展的源动力。光学系统的入瞳直径是决定空间相机地面像元分辨率的主要因素之一，在一定F的前提下，入瞳直径越大，空间相机地面像元分辨率越高。但入瞳直径的增加，意味着所有与孔径相关的像差增加。受空间环境中力学、热学、压力等因素的制约，当入瞳直径增大到一定程度（通常200mm以上），光学系统一般采用反射式或折反射式方案。为了简化光学系统形式，仅采用球面镜是无法平衡由于入瞳直径增加而剧增的像差，然而通过运用自由曲面的应用，可以解决像差增大的问题。由于自由曲面光学元件具有非对称结构形式，能够提供灵活的空间布局，拓展了优化自由度，提升了光学系统的像差平衡能力，从而显著改善了光学系统的视场适应能力。采用基于自由曲面的离轴反射式光学系统设计技术可以使光学载荷获得更大的成像视场，提升遥感器的成像质量，避免采用多台相机视场拼接带来的制造成本和发射成本的剧增。同时随着数控光学加工技术的进步，以及CGH光学面形检测技术的不断进步，自由曲面光学元件正逐步得到应用。三、自由曲面的数理模型作为光学元件的面形表达式必须具备4种特性，即连续阶特性、函数值唯一性、坐标轴无关性和局部控制性。连续阶特性是指表达式具有一阶以上连续导数，无突变点。函数值唯一性保证光线与曲面交点的唯一性。坐标轴无关性是指函数值不受坐标系的改变而变化，保证数据在光学设计、加工和装调过程中的无损传递。局部控制性是指表达式能够实现面形的局部控制，实现对非对称像差的平衡。自由曲面的数理模型有很多种，例如Zernike多项式、XY多项式、高斯方程等，详见式（1）式（3）。以上3种多项式均具备这4种特性。这3种自由曲面表达式各有优点。Zernike多项式为圆域正交，各项系数之间不会互相干扰，且与几何像差一一对应，不会出现高次项与低次项互相抵消的情况；XY多项式与数控光学加工的表达形式一致，最适合确定式加工；径向基函数局部控制力最强，像差平衡能力最强，同时其属于矩阵形式，最适合变形镜或子孔径拼接的面形描述。将这3种表达式应用于头盔显示系统设计中。光学系统设计参数见表1所示。3种自由曲面表达式均具有很强的像差平衡能力，放开平移项后Zernike表面与径向基函数表面的优化结果几乎相当，系统特征频率下的MTF稍低，但畸变优于径向基函数表面。由此可见，优化变量要针对系统残余像差的类型进行选取，并因此会影响自由曲面的像差平衡能力。考虑到自由曲面光学系统数据在设计、加工、检测、装调链路中的无损传递，目前仍然选择Zernike表面作为自由曲面的数理模型。四、自由曲面光学系统像差理论轴对称系统所有光学元件拥有唯一的对称轴，称为光轴。轴对称系统的像差可采用标量波像差理论进行描述，见公式（4），其中为像高，为入瞳直径。理想的轴对称系统的全视场像差以视场中心对称，仅有一个节点（零点），规律简单，如图5所示，图6（a）6（c）依次为彗差、像散和场曲。当轴对称系统出现一个小的失调量时，在原波像差公式中将引入失调量j，于是适用于轴对称系统的标量波像差变形为含有较小矢量偏量的矢量波像差公式，见公式（5）。随着该矢量偏量j的引入，轴对称系统像差对称性发生了改变，对称中心发生了偏移，采用CODE软件进行像差模拟，结果如图7所示，像散出现双节点现象。当系统发生较大偏心或倾斜时，系统像差特性将变得更加复杂，例如平面对称系统34。平面对称系统是指系统以YZ平面对称面，见图8所示。主镜和次镜在YZ平面内发生偏心和倾斜，使波像差公式中引入矢量和矢量，相比于轴对称系统由于小的失调量j对像差的影响要大得多。平面对称系统像差种类相比标量波像差种类大大增加，一级像差由3种即平移、离焦和倾斜，增加到5种，三级像差由5种增加到11种，五级像差由9种增加到35种。美国亚利桑那大学的JoseM.Sasain教授对平面对称系统的一级、三级和五级波像差进行了推导和归纳，而七级以上的波像差规律更加复杂，目前还没有得到推导。由于自由曲面本身失对称，使得自由曲面系统也完全非对称，相比于平面对称系统，其像差规律更加复杂，目前尚未对该类系统的像差函数完成推导和归纳。但从视场像差图形中可以定性得到自由曲面系统像差的4大特点：）像差节点不止一个；）像场不再以中心对称；）像差无确定指向；）像差种类更多。虽然目前未能完成自由曲面光学系统的波像差的推导和归纳，但是这并不影响设计过程中对光学系统参数和像质的优化和控制。方法包括：）通过对重点光线的精确控制实现光学系统一阶参量的掌控；）对全视场进行差权平衡，控制像面的振荡和异变；）编写自由曲面偏离量拟合及约束程序，实现自由曲面制造性控制。通过以上方法，并结合CODE V中用户优化评价函数功能，完成了一套针对空间遥感应用的自由曲面光学系统的设计和像质评价。五、自由曲面空间光学系统设计针对空间遥感光学系统追求大幅宽的应用需求，我们将自由曲面应用于四反射式光学系统中，实现了76视场的全反射式光学系统设计。具体光学系统参数见表4，光学系统图见图10所示。光学系统采用四反射式光学系统形式，主镜和三镜为凸面反射镜，二镜和四镜为凹面反射镜。其中主镜为球面反射镜，二、三、四镜为自由曲面反射镜。表5为光学系统数据。二、三、四镜均采用CODE V软件中的Zernike多项式描述的自由曲面面形。其中三镜面形拟合如图11所示，其相对于最接近球面的偏离量PV值为210，RMS值为47，评价波长为632.8nm。其中二、四镜面形拟合如图12所示，其相对于最接近球面的偏离量PV值约1148，RMS值292。采用确定式数控加工技术进行自由曲面加工，并采用CGH干涉补偿检测技术进行面形检测，其中三镜CGH的尺寸约为100mm，其条纹密度低于50lpmm，二四镜CGH尺寸约为135mm，其条纹密度低于200lpmm。对于大视场空间多光谱遥感相机如何控制不同视场下的光谱漂移是技术难题之一。系统采用远心光路设计，不同视场主光线与干涉滤光片法线夹角小于3，全视场成像光谱漂移小于1nm。满足高精度多光谱遥感相机的应用指标要求。采用全视场差权平衡，对76成像视场内实现多点监控。采用波像差对全视场像差进行平衡，利用CODE V的全视场波前多项式拟合功能，对视场内的彗差和像散进行拟合，通过对像差节点控制，实现对系统成像质量的优化。图13为全视场波像差图，未对2个边缘设置优化控制点，波像差明显增大，而设有控制点的视场内波像差变化不大，无突变点。图14为彗差项即Z7和Z8项的拟合，各视场彗差方向不一致，但是在差权的控制下全视场范围内彗差值差别不大，节点为条形视场的中心。图15为像散项即Z5和Z6项的拟合，像散节点增加到6个，方向规律复杂，全视场范围内彗差值差别不大，边缘未设控制点区域，像散明显增加。采用光学系统传递函数（MTF）对系统像质进行定量评价。图17和图18分别为光学系统在632.8nm波长下的MTF曲线以及特征频率处离焦MTF曲线。在632.8nm波长下全视场MTF高于0.567，全视场平均MTF为0.653。近红外谱段770nm890nm处系统全视场范围内MTF高于0.510。虽然反射式系统没有色差，但是由于波长的增加会导致系统MTF在近红外波段有所下降。同时多光谱CCD在近红外波段的MTF也较另外3个波段低。因此，通常多光谱相机要求在全波段范围内相机静态MTF均高于0.2。我们的设计结果可以满足多光谱相机的应用要求。六、自由曲面光学设计(1)离轴三反结构。自由曲面和非球面设计结果的对比光学系统的主要参数包括焦距f（m）、视场角FOV（）、相对孔径Df等。当探测器像元尺寸确定后，上述参数在很大程度上决定了系统设计的传递函数（MTF）、地面像元分辨力（GSD）、成像带宽（SW）、信噪比（SNR）等重要性能指标。如某空间遥感器要求光学系统焦距为4500mm，成像视场角为11，且根据系统总体尺寸和体积的大小，要求光学系统设计总长与焦距的比值不超过13。为了实现大视场设计，首先选用COOKTMA离轴三反构型，见图1，次镜为系统孔径光阑，光学系统基本对称，形成了一次成像的离轴三反射镜系统。针对不同相对孔径Df（Df19.0、Df19.5、Df110.0）条件，完成了基于传统非球面的离轴三反系统光学系统设计，关键性能指标见图2。上述设计结果表明：在结构尺寸约束条件下，为了满足任务指标要求，采用常规离轴三反光学系统的长焦距大视场系统设计，轴外像差相对较大，与中心视场相比轴外视场传递函数下降量超过10，系统优化平衡能力有待提升，这对仅使用常规非球面的传统光学系统提出了巨大挑战。因此，本文考虑引入自由曲面来拓展优化自由度，提升光学系统的像差 平衡能力。对于COOKTMA系统而言，次镜为孔径光阑位置，地位特殊，全孔径使用，其面型对系统全视场均有贡献。因此，为了兼顾技术的可实现性以及技术发展的先进性，首先考虑光学系统次镜选用自由曲面（XY多项式）进行设计。对应传统离轴三反系统设计过程，针对不同相对孔径Df（Df19.0、Df19.5、Df110.0）条件，完成基于自由曲面次镜的离轴三反系统设计，关键性能指标设计结果见图3。与基于常规非球面离轴三反系统设计对比结果见表。采用基于自由曲面次镜的新型离轴三反光学系统，轴外像质有明显提升，全视场像质的优势提升了遥感器的成像质量。从分析对比结果可以看出：次镜采用自由曲面设计后，相对孔径为Df19.5的新型光学系统的关键性能指标已经明显优于相对孔径Df19的传统离轴TMA光学系统，采用该方案能够有效降低光学系统重量，减小遥感器的体积。因此，综合考虑系统性能指标需求以及遥感器载荷体积、重量限制要求，最终选择相对孔径Df19.5作为光学系统优选方案，光学系统各反射镜的设计参数见表2。次镜采用基于多项式形式描述的自由曲面，共由18项组成，各项参数见表3。在系统设计过程中综合考虑了次镜的研制难度，有效控制了次镜与标准球面的偏差，系统优化设计后次镜自由曲面与标准球面偏离量仅为0.0007mm（1.1，632.8nm），采用定制的标准球面镜结合基于数字样板的非零位检测方法即可完成面形实时高精度检测，解决了大口径凸自由曲面反射镜检测难题，能够有效指导自由曲面次镜的加工过程。