江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（200）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数的定义域为，值域为。则区间长度的最小值为 。2.已知向量满足且。则的最小值为 3.若复数满足，则的最大值为 。4.设函数。若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 。5.已知方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 条。6.已知高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点均在半径为1的同一球面上。则侧棱SA长度的最大值为 。7.设函数。定义如下：。记为的所有根的算术平均值，则 。8.已知数列。记，则= 。二、解答题（共56分）9.（16分）设常数，函数存在反函数。若关于的不等式对所有的恒成立，求实数的取值范围。10.（20分）已知椭圆为原点，若动点A在椭圆C上，动点B在直线上，且,证明：点O到直线AB的距离为定值。11.（20分）已知知数列记为数列的前项和。求所有的正实数数对，使得加试一、（40分）用表示不超过实数的最大整数，已知为互素的正大整数。证明：二、（40分）在锐角中，已知AD为角平分线，M为边BC的中点，点P、Q在线段AD上，且,证明：当点P、Q变化时，的外心在一条定直线上。三、（50分）给定正整数数组，若对任意的，均有则集合称为“A好的”。定义为最大的正整数，使得集合可以分成两个集合满足且为A好的，为B好的。若数组满足且。证明：四、（50分）设且，记证明：