探索性问题的常见类型及其求解策略在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考 的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者 对此也做了一些探讨。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解 答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数 学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、 判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探 究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要 明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：一、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件 正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过 检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不 考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。例1.(2002年上海10)设函数f (x)二sin2x,若f (x +1)是偶函数，则t的一个可能 值是。分析与解答：f (x +1) = sin 2( x +1) = sin(2 x + 2t)又 (x +1 )是偶函数f (x +1) = f (-x +1)即$込(2x + 2t) = sin(-2x + 2t)。由此可得、2k +12x + 2t = 2x + 2t + 2k兀或 2x +1 =兀一(2x + 2t) + 2k兀(k w Z) t =兀(k w Z)4 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将 题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思 维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.二、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的 策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分 析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。例2.(2020 年上海文12)若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设匕是公比为q的无穷等比数列，下列匕的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的 nn是第组。（写出所有符合要求的组号）。S与S ；a与S ；a与a ；q与a .1 2 2 3 1 n n其中n为大于1的整数，S为的前n项和。nna分析与解答：（1）由S和S ,可知a和a。由t = q可得公比q,故能确定数列是该数列1 2 1 2 a1的“基本量”。（2）由a2与辺，设其公比为q,首项为，可得aa = a q,a = S = a + a q + a q22 1 1 q 3 1 1 1S3 a q2 + （a - S ）q + a = 02 2 3 2满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列匕的 n基本量。a（3）由a与a,可得a = aqn-1, qn-1二n，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定1 nn1a1 能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。（4）由q与a,由a = aqn-1,可得a =-，故数列ta 能够确定，是数列匕的一个n n 11 q n -1nn基本量。故应填、评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解例 3（2002 上海）规定 C m xx (x - 1)L (x1)m!其中x e R , m是正整数，且C0 = 1, x这是组合数C m （n, m是正整数，且m n ）的一种推广.n(I) 求C5的值；-15(II) 组合数的两个性质：Cm = Cn-m Cm + Cm-1 = Cmnnnnn+1是否都能推广到(x e R , m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明;若不能，则说明理由；(III)我们知道，组合数Cm是正整数.那么，对于Cm , x e R, m是正整数，是否 nx也有同样的结论？你能举出一些Cm e R成立的例子吗？x(15)(16)L (19)5!分析与解答：(I)C5 = 11628 .15(II) 一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义.从这个 角度很快可以看出：性质不能推广.例如当x = 2时，x xx +1Cm + Cm1 =xx (x 1)L (x m+1) x (x1)L (xm+2)+m!x(x一 1)L (x一m + 2)fx一m +1 =1 +1m 丿= x(x1)L (x m+ 2)(x+1)(m 1)!(m 1)!m!=Cmx+1由此，可以知道，性质能够推广.I)从Cm的定义不难知道，当x电Z且m丰0时,xCm eZ 不成立，下面，我们将着眼x故Cm e Zx点放在x e Z的情形.先从熟悉的问题入手.当x m时，Cm就是组合数, x当x笑Z且x m时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形(Cm，x笑Z且x m )x与已知的结论Cm e Z相联系？n一方面再一次考察定义：Cm =xx(x1)L (xm+1)m!；另一方面，可以从具体的问题入手.由(I)的计算过程不难知道：C5 =C5 .另外，我们可以通过其他例子发现类似的结1519论.因此，将C5转化为C5可能是问题解决的途径.1519事实上，当x m，即x-1，则Cm为组合数，故Cm G Z .一 x+m-1x 若-x + m-1 m，即0 x m时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算 不难发现：C4 =0，可以猜想，此时Cm二0 g Z .3x这个结论不难验证.事实上，当0 x 0,bc ad 0, 0 (其中a，b,abc,d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题, 可组成的正确命题的个数是( )A、0 B、1 C、2 D、3分析与解答：若ab 0, bc 一 ad 0,则-一=竺_ad 0 a b abcd /. ab 0, bc 一 ad 0 n 0 a bc dbc 一 ad右 ab 0, 一 0,则 0a babcd:.bc 一 ad 0,即ab 0, 一 0 n bc 一 ad 0a bc dbc 一 ad右bc - ad 0, 一 0,则 0a babc0nab0ab 0,即bc ad 0, 一a故二个命题均为真命题，选D。四、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。例6、(2020年福建)已知f (x) = 4x + ax2 一 2x3(x e R)在区间Ll,上是增函数。(1) 求实数a的值组成的集合A；(2) 设关于x的方程f (x) = 2 x + x3的两个非常零实根为x、x,试问：是否存在3 1 2实数m,使得不等式m2 + tm +1工片-打对任意a e A及t e E-1,1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。分析与解答： f(x)二4 + 2ax 一 2x2，f(x)在 1,1上是增函数，.f(x) 0对x e L 1,1恒成立即 x2ax2W0,对 xW 1, 1恒成立设申(x)二 x2 一 ax 一 2cp (1) = 1 a 2 0.甲(1) = 1 + a 2 01 a 10 对 x el1,1只有当 a = 1时，f f(1) = 0 以及当