上有定义， u (x)在 a, b 上可导，且1(u)-8.2换元积分法与分部积分法(4时)【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法.定理8 . 4(换元积分法) 设g( u )在 ,(x), x a,b，并记f (x) g( (x)(x),x a,b.(i)若g(u)在 ， 上存在原函数G(u),则f (x)在a,b上也存在原函数F(x),F(x) G( (x) C ,即f (x)dx g( (x) (x)dx g(u)duG(u) C G( (x) C.(ii)又若 (x)0,x a,b ,则上述命题(i)可逆，即当f (x)在a,b上存在原函数F( x)时,1g(u )在,上也存在原函数 G(u)，且G( u )= F (u) C，即g(u)du g( (x) (x)dx f (x)dx .F(x) C F( dxdu于是又能验证(2 )式成立:(u) C.证 (i)用复合函数求导法进行验证：pl-G( (x) G ( (x) (x) dxg( (x)(x) f (x).所以f(x)以G( (x)为其原函数， 式成立.1dduF(u)F (x)1(x)f (x)1(x)(ii )在 (x) 0的条件下，u (x)存在反函数x (u)，且(x)1# / 71例4求g( (x) (X)(X)g( (x) g(u) 上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换 元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)下面的例1至例5采用第一换元积分法求解在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：g( (x) (X)dxg( (x)d (x) G( (x) C.(1)例 1 求 ta nxdx.sin x . 解 由 tan xdxdxcosx1可令u cosx, g(u) ,则得u1tan xdx du In u CIn cosx C.(COSdx, cosxdx例 2 求-(a 0).a xd x解dx1a2 2 a xa21 raa# / 731du1 arcta nu aa1 u21xarcta n C.aaC对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量u，而直接使用公式(1 ).dx例3求d (a 0)a xdxx2 a2xJ1a.xC.arcs ina1dxa2dxdx2 x (a a0).dx 2 x2a-dx a2ad(xa)d (x a)Insecxdx.1 ,x aln2ax a2aC.In x a解法一利用例4的结果可得, cosx ,secxdx dxcos xd(si n x)1 sin2 x1|n21 sin x1 sin xC.解法二secxdx=secx(secx tanx), dx secx tan xd (secx tan x)secx tan xIn secx tanx C .这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来.从以上几例看到，使用第一换元 积分法 的关键在于把被 积表达 式f(x)dx凑成g x x dx的形式，以便选取变换 u (x)，化为易于积分的g u du 最终不要忘记把新引入的变量 u还原为起始变量 x第二换元公式 从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解.du解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6,并令ux6,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分:6x5du!U 訂 Udx x1dxx 1a* 2 x2dx (a2 x 2In33 u0)(x2 a2)a si nt, |t（这是存在反函数txarcsin 的一个单调区间）.于是aa2x2dxa costd (as int)a2cos2 tdt(1 cos2t)dta21(t sin2t) C2 2!(a2arcsin2ax a x2) c.dx-2 2 、x aa sect, 0-（同理可考虑t0的情况），于是有ln sectdxJ1 22、x aa sect tanta tantdtsectdttant C.借助辅助直角三角形,便于求出sect故得tantln、x2 a2dx2 2x a例9求ln xx2C1.dx2(a0)4 / 74dx722(x a )cos2 tdt解令x a tant, t ，于是有2 - asec t . dt a sec t13 (1 cos21) dt 2a313(t sin t cost) 2a3基 arctanx 2ax 2 C.2aa x a有些不定积分还可采用两种换元方法来计算.例10求 dxx%/解解法一采用第一换元积分法:# / 75dx2 2 x x解法二dx112Xdu.1 u21 ,x2 1 C.x采用第二换元积分法11 x x2u2(令xsect )：dxx2 - x21costdtsect tant ,2dtsec t tantsintC 1 x2 1 xC.二分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法.定理8.5 （分部积分法）若u X与vx可导，不定积分u x v x dx 存在，则 u x v也存在，并有uxv xdx=u x vx u xv x dxx dx(3)或uxvx u x v x u x v x ,对上式两边求不定积分，就得到（3）式.公式称为分部积分公式，常简写作udv uv vdu （ 4）例 11 求 xcosxdx.x , v cosx，则有u 1,v sin x.由公式（3）求得12求xcosxdx xsinxxsin xsindxcosx Carcta nxdx.arctanx , v 1，则arcta nxdx. x arcta n x11 x2x-2x,vx，由公式（3）求得dxxarctanx - l n 1213求x3 In xdx.ln x,v x3由公式（4）则有x3 In xdx4ln xd 414|-x l n44x4ln x16x3dx1 C.有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果; 移项合并后方能完成求解现分别示例如下有些还会出现与原不定积分同类的项,需经例14求 x2e xdx.xdxxe xdx例15求I1I1e x x22xC.e x cosbxdx禾口I2eax s in bxdx1 ax cosbxd eax aeax cosbx b eax sin bxdx由此得到I2ahbli1eax cosbx bl 2 , a1ax 1ax . u U|sin bxd ee sinbx bl 1aabl 2 eax cosbx,al 2 eax sin bx.解此方程组，求得Iieax cosbxdxeax sin bxdxax bsinbxax asinbxacosbxbcosbxC,C.作业：1 (2) ( 5) ( 7) (10) (16) (20) (27) 2 (1) (2) ( 8) (9).x arcs inadxx2d2 xd 2xe x