第4章 周期信号的频域分析 83第4章 周期信号的频域分析习题详解4-1试比较题4-1图所示的四种周期方波信号，说明每种信号的对称特性并写出Fourier级数展开式。(a) (b)(c) (d)【解】 (a)所以 实偶对称，Fourier级数展开式中只含有直流分量与余弦分量。减去直流分量后为半波镜像信号，Fourier级数展开式中只有奇次谐波。(b) 从图形观察：所以 减去直流分量实奇对称，Fourier级数展开式中只含有直流分量与正弦分量。减去直流分量后为半波镜像信号，Fourier级数展开式中只有奇次谐波。(c) 从图形观察：所以 实偶对称，且是半波镜像信号，Fourier级数展开式中只含有奇次谐波的余弦分量。(d) 从图形观察：所以 实奇对称，且是半波镜像信号，Fourier级数展开式中只含有奇次谐波的正弦分量。 4-2试求题4-2图所示的周期信号的Fourier级数展开式。【解】 所以 4-3求下列信号的指数形式Fourier级数展开式。(1)(2)(3)(4)【解】(1) 即 ， 。(2)即 (3) ，所以 ，。(4) ，即 ，4-4应用对称性质求题4-4图所示周期冲激信号的三角形式和指数形式的Fourier级数展开式。 (a) (b)【解】 (a) 所以(b) 其中：所以 4-5若f1(t)和f2(t)是基波周期为T0的周期信号，它们的指数傅里叶级数表示式为： 证明：证：，证毕。4-6(a) 已知周期信号f(t)波形如题4-6图(a)所示，试求出周期信号f(t)的指数形式的Fourier级数表达式。(b) 周期信号g(t)=f(-t)波形如题4-6图(b)所示，试求出周期信号g(t)的指数形式的Fourier级数表达式(c) 找出(a)和(b)中Fourier系数的关系,并证明此关系在一般情况下亦成立。(d) 周期信号h(t)=f(2t)波形如题4-6图(b)所示，试求出周期信号h(t)的指数形式的Fourier级数表达式(e) 找出(a)和(e)中Fourier系数的关系,并证明此关系在一般情况下亦成立。(a)(b)(c)【解】 (a) 从图中可以看出 , 所以 因此 (b) g(t)=f(-t)，为的Fourier级数系数。所以 因此 (c)从和的关系式可以看出：。若和分别是周期为T的周期信号f(t)和g(t)的Fourier系数，当g(t)=f(-t)，则有。证明： ，由于g(t)=f(-t)，所以，证毕。(d) h(t)=f(2t) 设 ，其中，是h(t)的Fourier系数。因此 (e) 若和分别是周期信号f(t)和h(t)的Fourier系数，当h(t)=f(2t)，且f(t)周期为T，则有。证明：由于f(t)周期为T，所以h(t)周期为T/2， ，所以，令，所以，证毕。4-7已知连续周期信号的频谱如题4-6图所示，试写出实数形式的Fourier级数（）。【解】 从图中可知，其它项为0。所以4-8已知周期信号的f(t)为，试求f(t)的Fourier级数表示式，并画出其频谱。【解】 ，根据欧拉公式，f(t)可以写为所以，（）。 将用模和相角表示为，可得，；，。由此可画出信号f(t)的幅度频谱和相位频谱，分别如图4-1(a)(b)所示。(a) (b) 题4-8信号频谱图4-9已知周期信号f(t)波形如题4-9图所示，试求利用周期信号的对称性求出f(t)的Fourier级数表达式。【解】 将复杂信号分解为简单信号，设。如图4-1所示。从图形上看，信号和周期为，所以。设 其中 利用Fourier级数的时移特性和线性特性，可得 4-10已知周期为T0的周期信号f(t)的Fourier系数为Cn，即，试求下列周期信号的的Fourier系数。(a) x(t)=f(t-1)(b) (c) (d) 【解】 (a) 设，x(t)=f(t-1)所以 。(b) 设，所以 。(c) 设， (d) 利用(c)的结论可得 4-11如果用Fourier级数表示一个在有限区间内定义的信号，而不是周期信号，则Fourier级数的表示形式是不唯一的。例如要表示在区间0t1定义的函数f(t)=t，可以选用周期T0=p, w0=2的Fourier级数来表示，如题4-11图(a)所示。如果要Fourier级数表示中无正弦项，可以构造一个周期T0=p，在区间-1t1上f(t)=|t|的信号，如题4-11图(b)所示。则该信号的Fourier级数表示中就没有正弦项。已知(a)(b)根据下面的不同要求，画出f(t)在其它区间的波形。(a) w0=p /2，含有各次谐波，但只有余弦项。(b) w0=2， 含有各次谐波，但只有正弦项。(c) w0=p /2，含有各次谐波，既有余弦项也有正弦项。(d) w0=1， 含有奇次谐波和余弦项。(e) w0=p /2，含有奇次谐波，和有正弦项。(f) w0=1，含有奇次谐波，既有余弦项也有正弦项。【解】 根据对称信号的Fourier级数性质，偶对称信号含有余弦分量，奇对称信号含有正弦分量，半波重叠函数含有偶次谐波分量，半波镜像信号含有奇次谐波分量。(a) 信号是偶对称信号，周期 T0=2pw0 =4，如图(a)所示。(b) 信号是奇对称信号，周期 T0=2p/w0 =p，如图(b)所示。(c) 信号不具有奇、偶对称性，周期 T0=2p/w0 =4，如图(c)所示。(d) 信号既是半波镜像对称又是偶对称信号，周期 T0=2p/w0 =2p，如图(d)所示。(e) 信号既是半波镜像对称又是奇对称信号，周期 T0=2p/w0 =4，如图(e)所示。(f) 信号是半波镜像，除此之外不具有奇、偶对称性。周期 T0=2p/w0 =2p，如图(f)所示。(a) T0=4(b)T0=p(c) T0=4 不唯一(d) T0=2p(e) T0=4(f) T0=2p 不唯一 题4-11解答图4-12试确定下列周期为4的序列的DFS系数。, 【解】 序列的周期N=4，写成矩阵形式为 ，写成矩阵形式为4-13试计算下列周期为4的序列的周期卷积, 【解】 周期卷积，设，在N=4时，两个周期为4的周期序列的周期卷积可表示为 4-14在题4-14图中画出了几个周期序列，它们的DFS表示可以写成(1)哪些序列能够通过选择时间原点使所有成实序列？(2)哪些序列能够通过选择时间原点使所有(除外)成虚序列？(3)哪些序列能够做到等？【解】 是实序列，且周期N=8。(1) 若满足，必须实部偶对称，虚部奇对称。由于是实序列，所以是偶对称函数，只有题4-14图(b)可以。如图4-3(a)(b)所示，=1,1,0,0,0,0,0,1是偶对称序列，=0,0 ,0,1,1,1,0,0也是偶对称序列。(a)(b) 题4-14(1)解答图(2) 若满足， 必须实部奇对称，虚部偶对称。由于是实序列，所以是奇对称序列。由于没有奇对称序列，所以满足条件的序列不存在。(3) ，所以. 所以，所以，综上所述，题4-14图(a)与(c)满足条件。4-15试确定下列周期序列的周期及DFS系数(1)(2)【解】 如果序列是周期的，则(m，N是整数)，互质时，则是序列的周期。周期序列的DFS系数，对于正弦类信号也可以通过与IDFS 对比求解DFS系数。(1)，是有理数，因此序列是周期的，且周期。，而，对比得, (2)的周期为6，的周期为8，所以的周期为N=24。，而，所以，根据的周期性，可得其在上的值为，。4-16已知 ，试求。【解】 可见 。4-17如果是一个周期为N的序列，它也是周期为2N的周期序列。令周期为N，而周期为2N，试根据来确定。【解】 方法一： 方法二：所以 4-18试确定以下周期离散序列的DFS表示，并画出DFS系数Fm的幅度谱和相位谱。(a)(b)(c) fk的周期为8，且(d) fk的周期为6，且(e) 【解】 (a) 计算序列周期 ， ，所以周期。，而 ，对比可得 F3=F5=4。(b) 可见的周期为N=12, 。根据的周期性，可得其在上的值为F1=12j, F5=12j, F7= -12j , F11= -12j。(c) ,所以 =4, 1-2.4142j, 0, 1-0.4142j, 0, 1+0.4142j, 0, 1+2.4142j。(d) =6, -3.5-2.5981j, 1.5+0.866j, -2, 1.5-0.866j, -3.5+2.5981j 。(e) =,周期N=6。 =0, 0, 6, 6, 6, 0 。4-19已知周期序列fk的DFS系数Fm如下, 试确定周期序列fk:(a)(b) (c),(d)【解】 (a) 判断周期的方法和判断周期的方法相同，周期N=8。所以有，根据的周期性，可得其在上的值为。(b) ，周期N=8。所以 =0.5, 0.125+0.3018j, 0 , 0.125+0.0518j, 0, 0.125-0.0518j, 0 , 0.125-0.3018j。(c),，周期N=8。，由于所以 。(d) 周期N=5。=0.2, 0.4236-0.3078j, -0.0236+0.0727j, -0.0236-0.0727j, 0.4236-0.3078j, 0.2 。4-20已知周期序列fk的DFS系数为Fm, 试确定以下序列的DFS系数:(a) (b) (c) (d) 【解】 (a)(b)