典型例题一例 1：已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 求证： 平面 AB1D1 / 平面 C1BD 证明 ： ABCD - A1B1C1D1 为正方体， D1A / C1B ，又C1B平面 C1BD ，故 D1A/ 平面 C1BD 同理D1 B1 / 平面 C1BD 又 D1A D1B1 D1 ， 平面 AB1D1 / 平面 C1BD 说明：上述证明是根据判定定理1 实现的本题也可根据判定定理2 证明，只需连接A1C即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离典型例题二例 2：如图，已知/ ， A a ， Aa / 求证： a证明： 过直线 a 作一平面，设a1 ，b / a1 / b又 a / a / b在同一个平面内过同一点A 有两条直线 a,a1 与直线 b 平行 a 与 a1 重合，即 a说明： 本题也可以用反证法进行证明典型例题三例 3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交已知： 如图，/ ， lA 求证： l 与相交证明： 在上取一点 B ，过 l 和 B 作平面，由于与 有公共点 A ，与有公共点 B 与 、 都相交设a ，b / a / b又 l 、 a 、 b 都在平面内，且 l 和 a 交于 A l 与 b 相交所以 l 与相交典型例题四例 4：已知平面/， AB ， CD 为夹在 a ，间的异面线段，E 、 F 分别为 AB 、CD 的中点求证：EF/，EF/证明： 连接 AF 并延长交于 G AGCDFAG ，CD 确定平面，且AC ，DG / ，所以AC/DG，ACFGDF ，又AFCDFG ， CFDF ， ACFDFGAF FG又 AE BE，EF/BG， BG故 EF/ 同理 EF /说明： 本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理典型例题六例 6如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为A1 、 B1 、 C1 、 D1 ，且 A1 、 B1 、 C1 、 D1 互不重合，也无三点共线求证： 四边形 A1B1C1D1 是平行四边形证明： AA1，DD1 AA1 / DD1不妨设 AA1 和 DD 1 确定平面同理 BB1 和 CC1 确定平面又 AA1 / BB1 ，且 BB1 AA1 /同理 AD /又AA1 AD A /又A1 D1 ，B1C1 A1D1 / B1C1 同理 A1 B1 / C1D1 四边形 A1 B1C1D1 是平行四边形典型例题七例7设直线l 、 m ，平面、，下列条件能得出/的是（）A l， m，且 l /， m /B l， m，且l / mC l， m，且l / mD l /， m /，且l / m分析： 选项A 是错误的，因为当l / m 时，与可能相交选项B 是错误的，理由同 A选项C 是正确的，因为l， m/ l ，所以m，又m，/选项D 也是错误的，满足条件的可能与相交答案： C说明： 此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致本例这样的选择题是常见题目， 要正确得出选择， 需要有较好的作图能力和对定理、 公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况典型例题八例 8设平面平面，平面平面，且 、 分别与b a / b求相交于 a 、 ，证：平面/ 平面分析： 要证明两平面平行，只要设法在平面上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与平行（如图）证明： 在平面内作直线 PQ直线 a ，在平面内作直线 MN直线 b 平面平面，PQ平面，MN平面， PQ/MN 又 a / p ， PQa Q ， MN b N ，平面/ 平面说明： 如果在、内分别作 PQ， MN，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN在 、内，如果直接在、 内作 a 、 b 的垂线，就可推出 PQ / MN 由面面垂直的性质推出“线面垂直” ，进而推出 “线线平行” 、“线面平行” ，最后得到 “面面平行”，最后得到“面面平行” 其核心是要形成应用性质定理的意识， 在立体几何证明中非常重要典型例题九例 9如图所示， 平面/ 平面，点 A、C，点 B、D， AB a 是 、的公垂线，CD 是斜线若 AC BDb ， CDc ， M 、 N 分别是 AB 和 CD 的中点，(1)求证： MN /；(2)求 MN 的长分析：（1）要证 MN /，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面PMN /为此证明PM /，PN/即可 (2)要求MN 之长，在CMA 中， CM、 CN 的长度易知，关键在于证明MN证明： (1)连结CD ，从而由勾股定理可以求解AD ，设 P 是 AD 的中点，分别连结PM、 PN M 是 AB 的中点， PM / BD 又BD， PM /同理N 是 CD 的中点， PN / AC AC， PN / /， PNPMP ，平面 PMN / MN平面 PMN ， MN /(2)分别连结 MC 、 MD 1 a ， ACBDb ， AMBM2又 AB是、的公垂线，CAMDBM90 ， Rt ACM Rt BDM ， CMDM ， DMC 是等腰三角形又 N 是 CD的中点， MN CD在 Rt CMN 中， MNCM 2CN214b2a2c2 2说明： (1)证“线面平行” 也可以先证 “面面平行” ，然后利用面面平行的性质， 推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解(3) 面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行典型例题十例 10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 _ 分析： 按直线和平面的三种位置关系分类予以研究解： 设 a 、 b 是平面内两条相交直线(1) 若 a 、 b 都在平面内， a 、 b 与平面所成的角都为0 ，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑(2)若 a 、 b 都与平面相交成等角，且所成角在(0 , 90 ) 内； a 、 b 与有公共点，这时与相交若 a 、 b 都与平面成 90 角，则 a / b ，与已知矛盾此种情况不可能(3)若 a 、 b 都与平面平行，则 a 、 b 与平面所成的角都为0 ，内有两条直线与平面平行，这时/综上，平面、的位置关系是相交或平行典型例题十一例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知：A 平面 ，求证： 过 A有且只有一个平面/分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可证明： 在平面内任作两条相交直线a 和 b ，则由 A知， Aa ， Ab 点 A 和直线