2022年高二数学下学期期末考试试题理(III)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量，下列概率与相等的是（ ）A B C D2.设直线与曲线所围成的封闭图形的面积为，某同学给出了关于的以下五种表示：；，其中表示正确的序号是（ ）A B C D 3.已知复数，则（ ）A B C的实部为1 D为纯虚数 4.有一段“三段论”推理是这样的：对于定义域内可导函数，如果，那么在定义域内单调递增；因为函数满足在定义域内导数值恒正，所以，在定义域内单调递增.以上推理中（ ）A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确5. 已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）A变量，之间呈现负相关关系 B C可以预测，当时， D由表格数据知，该回归直线必过点 6.从中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为（ ）A B C D 7.在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ）A B C D288. 已知结论：“在正中，若是边的中点，是的重心，则.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体的距离都相等，则（ ）A1 B2 C3 D4 9. 一个五位自然数，当且仅当时称为“凸数”（如12543，34643等），则满足条件的五位自然数中“凸数”的个数为（ ）A81 B171 C231 D37110.已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）A1 B C D 11.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ）A B C D 12.定义在区间上的函数使不等式恒成立，其中为的导数，则（ ）A B C D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第xx个三角数与第xx个三角数的差为 .14.同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为，则的数学期望是 .15.不定方程的非负整数解的个数为 .16.若函数的图象关于直线对称，则的最小值是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知为实数，复数.（1）当为何值时，复数为纯虚数？ （2）当时，复数在复平面内对应的点落在直线上，其中，求的最小值及取得最值时的、值.18.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.（1）求的值并估计该校3000名学生中读书迷大概有多少？（将频率视为概率）（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“读书迷”与性别有关?非读书迷读书迷合计男15女45合计（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的学生的阅读时间？说明理由.附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.已知 （1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由.20.某商场对某品牌电视机的日销售量（单位：台）进行最近100天的统计，统计结果如下：日销售量1234频数405频率（1）求出表中、的值； （2）试对以上表中的日销售量与频数的关系进行相关性检验，是否有把握认为与之间具有线性相关关系，请说明理由.若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，已知每台电视机的销售利润为200元，表示该品牌电视机两天销售利润的和（单位：元），求数学期望.参考公式：相关系数：参考数据：，其中为日销售量，是所对应的频数.相关性检验的临界值表小概率0.050.0110.9971.00020.9500.99030.8780.95921.设函数.（1）若，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：；（3）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.22.选修41：平面几何证明选讲如图，、切于、，为的割线.（1）求证：；（2）已知，求与的比值.23. 选修44：极坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求弦长.24.选修45：不等式选讲设不等式的解集为，.（1）证明：；（2）比较与的大小.高二理科数学试题答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案ACDABDBCCDAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13xx； 1425； 1591； 16 三、解答题：本大题共6个题，共70分17解：（1）令，则或又，所以18解：（1），所以.，将频率视概率，由此可以估计全校3000名学生中读书迷大概1200人（2）非读书迷读书迷合计男401555女202545合计6040100有的把握认为“读书迷”与性别有关.（3）由（2）的结论知，该地区“读书迷”与性别有关，从样本数据能看出该地区男生与女生为读书迷的比例差异明显，因此在调查时，先确定该地区的男女比例，再把学生分成男、女两层并采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好.19解：（1）取，可得，对等式两边求导，得，取，则.（2）要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，；当时，；当时，；当时，,猜想：当时，下面用数学归纳法证明：（i）当时，猜想成立，（ii）假设当，时结论成立，即，当时，而，故当时猜想也成立，综合，当时，；当时，；当时，；当时，.20解：（1）依题，.（2）由公式.由，可见没有把握认为与之间具有线性相关关系.令两天该商场销售该品牌电视机的台数为，则依题.而 的值可能为2，3，4，5，6，7，8.由题，.从而的分布列为2345678于是.这样数学期望（元）.21解：（1）由已知，时，的定义域为，求导得，有两个极值点，有两个不同的正根，故的判别式，即，且，所以的取值范围为.（2）由（1）得且，得，令，则，当时，在上市增函数，.（3）令，由于，所以为关于的递减的一次函数根据题意，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，则上有解，令，则只需存在使得即可，由于，令，在上单调递增，当，即时，在上是增函数，不符合题意；当，即时，(i)若，即时，在上恒成立，即恒成立，在上单调递减，存在使得，符合题意；(ii)若，即时，在上存在实数，使得，在上，恒成立，即恒成立，在上单调递减，存在使得符合题意.综上所述，当时，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立.22解：（1）分别为的切线，由弦切角定理，得，又为与的公共角，同理，又，即（2）由圆的内接四边形的性质，得，由（1）得.23. （1）由，得，即曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的方程化标准式（为参数），代入，并整理得，.所以.24.（1）证明：解不等式的集合，所以，两式相加得，即.（2），.