word第四章 积空间在第三章中，我们把维空间中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋线性空间的概念。但在中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋线性空间是做不到的。我们知道，中向量的夹角是通过向量的积描述的，因此在本章我们引入了一般的积空间的概念。4.1 积空间的基本概念首先回忆几何空间中向量积的概念。设，设与夹角为，由解析几何知识可得其中， ，令，称为与的积，不难证明它有如下性质：（1）（2）（3）（4）注：由定义可得，我们看到，两个向量的夹角仅与向量的积有关。利用积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。现在我们引入一般的积空间的概念。【定义 4.1】 设为数域上线性空间，若对任两个元素（向量），有惟一中数与之对应，记为，并且满足如下性质：（1）（2）（3）（4）则称为与的积，有了积的线性空间叫做积空间，当为实数域（或复数域），叫为实（或复）积空间。注:由性质（3）与性质（4）知，积运算关于第一变元是线性的。由性质（2）与性质（4）可推知.于是当为积空间时，积关于第二个变元也是线性的。而常称为共轭齐次性，因此在为赋积空间时，积是共轭线性的。今后讨论中不加注明时，恒设为复积空间。【引理 4.1】（Schwaraz不等式） 设为积空间，对任意，成立不等式证明：若，则任，有，则显然不等式成立。现在设，则，有取代入上式可得，由此可得证毕。【定理 4.1】 设为积空间，对任，令，则是的数。证明：因数的前两条性质可直接由积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。事实上故有.证毕。注：常称为积导出的数，于是积空间按此数成为一个赋线性空间。在此意义下，第二章关于赋线性空间的有关容都适用于积空间。特别当积空间按由积导出的数完备的，称为Hilbert空间。以下介绍几个常用的Hilbert空间的例子。表示（实或复）Euclid空间，对于，类似于几何空间中向量的积定义，令不难验证成为一个空间。，当，时，令容易证明成为积空间。以下证明为Hilbert空间。任取列，则对任当时，有因而有故数列是列，因数域完备，则存在，使，令，则任，当时，有则令，对每个及任，有因而，亦有，只要，所以，注意是线性空间，则，且，这即表明在中收敛，故为Hilbert空间。为有限或无穷区间，对任，定义积这里中的元素是实值或复值二次可积函数，也不难验证是积空间。现在证明是Hilbert空间。设为列，则对每个，存在自然数，有对任有限区间，由不等式，有式中，为的长度。故级数收敛，于是由引理（见第一章）我们有从而知是集上可积函数，则比在上为处处有限函数，即级数在上几乎处处收敛，而为中任意有限区间，则级数在上几乎处处收敛，因而级数在上几乎处处收敛，亦即函数在上几乎处处收敛于函数.现在证明，且.对任意，因为中列，则存在，当时，有，即令，利用第一章积分的性质，得到即，且，因此.因此列在中收敛，故是Hilbert空间。（1） 积的连续性。设，则有证明：由不等式，得因收敛有界。证毕。（2） 极化恒等式。对积空间中元素与，成立证明可直接运用数的定义和积的性质得到。留给读者作为练习。注：当为实数积空间时，则极化恒等式为（3） 中线公式。对积空间中元素与，成立证明：证毕。注：也常称中线公式为平行四边形公式。因在平面中，平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和。另外，可以证明中线公式是积空间中由积导出的数的特征性质，即当为赋线性空间时，若对其中任何元素与关于数成立中线公式，则必在中可定义积，使数可由此积导出。也就是一个赋线性空间成为积空间的条件是其数要满足中线公式。因此，积空间是一类特殊的赋线性空间。例如，当且时，不是积空间。因为，取，则，且，显然不满足中线公式。又例如，按数不是积空间。这只要取，及，则，且，明显不满足中线公式。再例如，当且时，也不是一个积空间。1. 证明：Schwarz不等式中等号成立与线性相关。2. 设为实积空间，若，证明：.若，所证明事实有什么几何意义？3. 设为积空间，若对任何，有，试证明.4. 设为Hilbert空间，求证的充要条件是，且.5. 验证极化恒等式。6. 设是维线性空间的一组基，对于，有惟一表示，其中，求证是上一个积的充要条件是存在正定矩阵，成立4.2 积空间中元素的直交与直交分解4.2.1 直交及其性质仿照中两个向量的直交概念，我们有如下定义。【定义 4.2】 设是积空间，若，称与直交，记为.设，若与每个元素直交时，则称与直交，记为.又，若，都有，则称与直交，记为.设，记,则称为的直交补。由以上定义，可得如下简明事实（性质）：（1） 零元素与中每个元素直交。（2） 若，则.（3） .（4） 若，则.（5） 任，若，则；若，则.此外我们还有一下几条有用性质：（6） 若，且，则.这是因为.（7） 若，且，则成立勾股公式.这个性质留给读者自己验证。（8） 对任，则是的闭子空间。事实上，任意，则对每个，有，于是有，故；又任意，则任意，有，故，因此成为的线性子空间。现在证明是闭集。若，则为闭集，当，任取，则存在，有.对任意，应用事实（6），有则，于是推得，即，因此为闭集。证毕。（9） 设为非空集，则. 事实上，因，则.另外，对任意，任意取，若，则是中有限个元素的线性组合，即于是，即.而当，则存在元素，有，由以上证明知，于是由性质（6）得知.综上所说，故.证毕。4.2.2 直交投影及变分引理仿照中向量在坐标轴上投影的概念引入以下定义。【定义 4.3】 设是积空间的一个线性子空间，若存在，使成立，则称为在上的直交投影（可简称为投影）。注：一般情况，某个元素在的某个空间上不一定存在投影。但当投影存在时，则可证明投影的惟一性。因为若及都是在上的投影，则由定义有，于是，故.对于，任向量在轴（即子空间）上有投影为.并且知道点到轴上每个点的距离最小者为.这种现象如何在一般的（特别是无限维）积空间中表现是个需要探讨的问题。为此，我们首先给出重要概念。【定义 4.4】 设是度量空间，是中非空子集，则称为到集的距离，记为.若存在某，使，则称为在中最佳逼近元。注：一般情况下，某元，在某集中不一定存在最佳逼近元。并且在最佳逼近元存在时也不一定惟一。因此，最佳逼近元的存在性及惟一性成为逼近理论中一个主要研究方向。在此我们仅介绍一个在微分方程，现代控制论等学科都有重要应用的基本结果。【定理 4.2】（极小化向量定理） 设是空间中的凸闭集，则任意，必有中惟一存在最佳逼近元。证明：令，则存在，使.因是凸集，则，于是必有.在中线公式中以代换，以代换，则有因此是完备积空间中列，则存在，使.因是闭集，则，并且有这证明了最佳逼近元的存在性。现在证明惟一性。设也是的最佳逼近元。还是由中线公式得故，即.证明。我们通常也称此定理为变分引理。由于子空间一定是凸集，并注意定理的证明过程，则定理条件改为是积空间中完备的子空间时，定理结论仍成立。4.2.3 投影定理【定理 4.3】（投影定理） 设是积空间的完备线性子空间，则任意，必在中惟一存在投影。即必惟一存在，使.证明：由题设，依据极小化向量定理，在中存在最佳逼近元，记为任取复数，则，且有当时，取代入上式，得于是推得，再注意，此式也成立，因而.令，即有.投影的存在性得证。投影的惟一性已由定义4.3的注得证。证毕。注：（1）为空间时，则对任闭集子空间投影定理成立。（2）表达式也常称为元素的直交分解，故投影定理也叫做直交分解定理，是中向量的直交分解的推广。由于在一般赋线性空间中没有直交概念，因此不能讨论直交分解的问题。（3）对于空间及子闭空间，在投影定理条件下有即表示为两个直交子空间的直和，常称为与的直交和，或直交分解。投影定理在积空间理论中是极为重要的基本定理。由于投影，就是元素在子空间中的最佳逼近元，因此在现代逼近论，概率论以及控制论中许多问题都可以抽象为如下的数学问题。设是积空间，且，问是否存在个数，使得，其中.并且一般假设线性无关。由于是一个维赋线性空间，故完备，则由投影定理，对于，必惟一存在，使.现在我们给出求解的方法，因，则由投影定理，我们有即得线性方程组记其系数行列式为.因为方程组已知有惟一解，故，并且可计算出.最后，我们再给出投影定理的两个推论。【推论 4.1】 设是积空间的真闭线性子空间，则中必有非零元素。证明：由题设，则存在.由投影定理得知，存在，使得，于是必，否则，与之矛盾。证毕。【推论 4.2】 设是积空间的真闭线性子空间，则.特别当，则在中稠密。证明：由性质（8），是中真闭线性子空间，因完备，则完备。显然，有，于是。同样得知也完备。如果，于是关于，应用推论4.1，存在非零元素，且，故，从而，矛盾。从而必有，证毕。1. 设是实积空间，若，则.问是复积空间时，结论是否成立？2. 证明：积空间中的两个元素直交的充要条件是对任意数，成立.3. 设是积空间中两两直交的非零元素组，求证：线性无关。4. 设是积空间，则对任意，有.5. 设是空间，是的子集，求证是包含的最小闭子空间。6. 设是空间中非空子集，求证：.7. 设为空间中全体偶函数的集合：（1） 求证是中全体奇函数。（2） 任意，求在上的投影。8. 设为空间，元素列且两两直交，求证：级数收敛数值级数收敛。9. 证明：直交性质（1）-（5）.10. 设是积空间中两两直交元素组，求证：.4.3 直交系返照中情况，在积空间引入直角坐标系的概念。【定义 4.5】 设是积空间中一个不含零元的子集，若中任意两个不同元素都直交，则称为的一个直交系。又若中每个元素的数都是1，则称为标准直交系。注：为了简单起见，我们仅讨论至多含可列个元素的直交系，因为对不可列情况，在方法上同可列情况并无本质的区别。例 4.4 在（实或复）空间中是一个标准直交系。例 4.5 在积空间，以下元素列是一个标准直交系其第个分量是1，其余分量都是0，例 4.5 在实积空间中，若定义积为则三角函数系是的一个标准直交系。【定义 4.6】 设是积空间中一个标准直交系，对任，称为元素关于的系数，常简称为的系数。于是有形式级数，称为元素关于可以展开为级数。注：一般情况下，级数不一定收敛。即或收敛，也不一定收敛于.在什么条件下元素可以展开为级数的问题自然是重要的。【定理4.4】 设是积空间中一个标准直交系，记对任意给定，则在上的投影是，即是在的最佳逼近元。证明：因，由于，则只须证明.由4.2性质（9），又仅须证于是由，知结论成立。证毕。注：任意，任，成立【定理4.5】（Bessel不等式） 设是积空间中一个标准直交系，则对任意，成立Bessel不等式其中，证明：已知，其中，则由勾股定理得令，得结论成立。证毕。注：Bessel不等式指元素在每个上投影的数的平方和不大于的数；由此知为收敛级数，于是推得事实特别对积空间关于标准