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高考数学精品复习资料 2019.5解答题滚动练81(20xx江苏溧阳中学模拟)在三棱锥SABC中,SA平面ABC,SAABACBC,点D是BC边的中点,点E是线段AD上一点,且AE4DE,点M是线段SD上一点(1)求证:BCAM;(2)若AM平面SBC,求证:EM平面ABS.证明(1)ABAC,D是BC的中点,ADBC,SA平面ABC,BC平面ABC,SABC,又ADSAA,AD,SA平面SAD,BC平面SAD,又AM平面SAD,BCAM.(2)AM平面SBC,SD平面SBC,AMSD.设SA1,则AD,SD,AM,SM,MD.SM4MD.又AE4DE,MESA,又ME平面ABS,SA平面ABS,EM平面ABS.2(20xx江苏郑集高级中学质检)在ABC中,已知(sinAsinBsinC)(sinBsinCsinA)3sinBsinC.(1)求角A的值;(2)求sinBcosC的最大值解(1)因为(sinAsinBsinC)(sinBsinCsinA)3sinBsinC,由正弦定理,得(abc)(bca)3bc,所以b2c2a2bc,所以cosA,因为A(0,),所以A.(2)由A,得BC,所以sinBcosCsinBcossinBsin,因为0B,所以B,当B,即B时,sinBcosC取最大值1.3(20xx南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;(参考数据:sin17,5.7446);(2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由解(1)如图甲,设缉私艇在点C处拦截到走私船在ABC中,B120,AB4,设BCa,AC3a.由正弦定理,得,所以sinA.因为B120,所以A为锐角,从而A17.由余弦定理,得(3a)242a224acos120,即2a2a40,解得a1.7.点B到l的距离为3.821.8,而a1.8,所以点C在领海内答缉私艇的追击方向应为北偏东47.(2)如图乙,以A为原点,正北方向为y轴正方向,1海里为1个单位长度,建立平面直角坐标系xAy,则A(0,0),B(2,2),直线l的方程为x3.8.设缉私艇在点P(x,y)处拦截到走私船由AP3BP,得x2y29(x2)2(y2)2整理,得22.点P的轨迹是以M为圆心,半径r的圆圆心M到直线l的距离d3.81.55r,所以直线l与圆M外离,即点P总在领海内答无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇总能在领海内成功拦截4如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2y24,椭圆C:y21,A为椭圆右顶点过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点,直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆O的另一交点为Q,其中D.设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求k1k2的值;(2)记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC,是否存在常数,使得kPQkBC?若存在,求值;若不存在,说明理由;(3)求证:直线AC必过点Q.(1)解设B(x0,y0),则C(x0,y0),y1,所以k1k2.(2)解由题意得直线AP的方程为yk1(x2),联立得(1k)x24kx4(k1)0,设P(xp,yp),解得xp,ypk1(xp2),联立得(14k)x216kx4(4k1)0,设B(xB,yB),解得xB,yBk1(xB2),所以kBC,kPQ,所以kPQkBC,故存在常数,使得kPQkBC,(3)证明当直线PQ与x轴垂直时,Q,则kAQk2,所以直线AC必过点Q.当直线PQ与x轴不垂直时,直线PQ方程为y,联立,解得xQ,yQ,所以kAQk2,故直线AC必过点Q.
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