第1节坐标系最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2. 了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程|1基他修断I忆人.归教材夯实基搬息|知识梳理1 .平面直角坐标系中的坐标伸缩变换x=入 x （入 0）, 设点Rx,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换巾：丫，（ 0）的作用下，点Rx, y）对应到点P （x , y）,称巾为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 .2 .极坐标系与点的极坐标（1）极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 Q极点）；自极点O引一条“小孙射线OX极轴）；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正,方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系 .”（2）极坐标：平面上任一点 M的位置可以由线段 OM勺长度p和从Ox到OM勺角度0来刻画，这两个数组成的有序数对 （P, 0）称为点M的极坐标.其中P称为点M的极径，e称为点M 的极角.3 .极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标（x, y）极坐标（p, e）互化公式x= p cos 0 , y= p sin0222P = x +y- y， 八、tan 0 =：(xw0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r的圆jM 5q = r(0w 8 0)表示的曲线是一条直线.()答案(1) X (2) V (3) V (4) X2 .(教材习题改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y= 1 x(0 w xw 1)的极坐标方程为()1 兀Ap=cos e+sin e , w。&万2 兀B. - cos 9 + sin 8，*。4兀C. p = cos 0 + sin 0 , 0 0兀D. p =cos 0 +sin 0 , 0 0 4解析y= 1-x(0x 1),p sin 0 = 1 p cos 0 (0 p cos 0 0),规律方法1.平面上的曲线 y=f(x)在变换巾：，的作用下的变换方程y =(1 y ( w 0)x，的求法是将入 代入y=f(x),整理得y =h(x)为所求.yy=一2.解答该类问题应明确两点:是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;是明确变换前的点 Rx, y)与变换后的点P (x，y)的坐标关系，用方程思想求解x【训练1】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换巾：2y=3x,=y.(2)求点A g, - 2经过6变换所得点A的坐标; 3求直线l ： y=6x经过6变换后所得直线l 的方程.(1)设点(x,y),由伸缩变换6x = 3x,2y = v，1= 3X3=1, 3 -2一=-1.2点A的坐标为(11).(2)设 P (x,y)是直线l 上任意一点.由伸缩变换6 :x = 3x,2y =y,x，得 x=3y=2y.代入y= 6x,得2y，=6 -t=2x，即 y，3，y = x为所求直线l 的方程.e和直线l ： P sin e -4等考点二极坐标与直角坐标的互化【例21】 在极坐标系下，已知圆Q p=cos 0 +sin (1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当8 e (0 ,兀)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆 Q p = cos0 +sin 8 ,即 p 2= p cos 0 + p sin 0圆O的直角坐标方程为:x2+ y2=x+ y,即 x2+ y2-x- y= 0,直线 l ： p sin 9 =号，即 p sin 0 p cos 0=1,则直线l的直角坐标方程为：y-x= 1,即xy+1 = 0.x2+y2-x-y= 0,x= o,(2)由得 x y+1 = 0,y=1,，,兀故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1,.【例22】(2016 北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C: P cos e 3 p sin 9 1 = 0, Q: p= 2cos 9 .(1)求曲线C, G的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C, G交于A, B两点，求两交点间的距离 .解(1)由 C ： p cos 8一地 p sin 0 1 = 0, x - -3y 1 = 0,表示一条直线.由 G: p = 2cos 8 ,得 p 2= 2 p cos 9 .,.x2+ y2= 2x,即(x1)2+y2= 1.所以G是圆心为(1 , 0),半径r=1的圆.(2)由(1)知，点(1 , 0)在直线 x- J3y1 = 0 上，所以直线。过圆G的圆心.因此两交点A, B的连线段是圆G的直径.所以两交点A, B间的距离| AB =2r = 2.规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x=pcos 0,y=p sin 8, p2=x2+y2, tan 8=x(xw0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意p , 0的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧【训练2】(1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标一 . L 兀 兀.-.系.已知点A的极坐标为2j2,直线的极坐标万程为 p cos 9 - =a,且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线C： x2+y2-8x-10y+16=0化为极坐标方程. 兀兀解(1):点八42，1 在直线 P cos 0 - =a,L兀兀Ja=y/2cos 4一了 =y/2所以直线的方程可化为 p cos 0 + p sin 8=2x= p cos代入 x2 + y28x10y+16= 0(2)将从而直线的直角坐标方程为x + y2=0.y= p sin 0得 p 28 p cos 0 -10p sin 0 +16=0,所以C的极坐标方程为p28pcos 0 -10p sin 0+16=0.考点三曲线极坐标方程的应用【例31】(2017 全国n卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 。的极坐标方程为p cos 0=4.设点M为曲线G上的动点，点 P在线段OM匕且|OM |OP = 16,求点P的轨迹G的 直角坐标方程；兀(2)设点A的极坐标为 2, w ,点B在曲线G上，求 OABm积的最大值.3解 设P的极坐标为(p, 0)( p0), M的极坐标为(p1, 0)( p10).由题设知 |OP= p , |OM= p1 = -4.cos 0由| OM |OP=16得。的极坐标方程为 p=4cos 0 ( p 0).因此G的直角坐标方程为(x2)2+y2=4(xw0).(2)设点B的极坐标为(p b, a )( p b0).由题设知 | OA = 2, p b= 4cos a ,于是 OAB勺面积1S= 210A - p b- sin ZAOB=4cos asin a=2 sin 2 a平 W2+#.当a = 12时，S取得最大值2 + 73.所以 OA前积的最大值为 2 十43.x= acos t ,y= 1 + asin【例32(2016 全国I卷)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为.(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G： p =4cos 0 .(1)说明C是哪一种曲线，并将 Ci的方程化为极坐标方程；