振动力学课程设计 X1 X2 x35k3mw4k4mQQk7m0 03kr-p ! i i i i p 1 1 11 1i； uio!：!:!年级：工程力学09级02班姓名：陶昶学号：20091210220振动力学课程设计(大作业)的内容如下：1.在图示振动系统中，m =3m,m2 =4m,m3 =7m, k, =5k,k2 =4k,k3 = k, k4 =3k建立系统的振动微分方程，要求写出详细的过程。2. 求系统的振动固有频率。3. 计算系统的振动模态，绘制主振型的示意图。4. 计算系统的主质量、主刚度和简正振型矩阵。5. 初始条件为：xo =O,O,O.O3T,X0 =0,0,0.5t,位移单位为m,速度单位为m/s。求系统自由振动的响应。6. 在质量为mi的物体上作用简谐力f(t) = Fsin-.t，求系统强迫振动的 响应。7. 在质量为m3的物体上作用非周期激励力f(t) = Fu(t)，u(t)为单位阶 跃函数，求系统强迫振动的响应。8. 在固定端和第1个物体之间安装一个阻尼系数为G的阻尼器，在第 1个和第2个物体之间安装一个阻尼系数为C2的阻尼器，在第2个和 第3个物体之间安装一个阻尼系数为C3的阻尼器，在第3个物体和固 定端之间安装一个阻尼系数为C4的阻尼器。已知：G =2c, Q =c, C3 =6c心=3c。建立系统的有阻尼振动微分方程， 计算系 统的阻尼矩阵、模态阻尼矩阵。9. 用瑞利法估算系统的基频。10. 用传递矩阵法计算系统的固有频率。解答过程如下:1.x14kk5k3k3m4m7mx2x3JW. LLL、 -fW _. .-L.f .: ：i：o：-: I：o：-: :匚口: I：I：I: -：o: : co: 口: /分别以两物体的平衡位置为坐标原点,取x1、x2和x3为广义坐标,由牛顿第二定律得m1x k2(x2 xj - 匕为“ mx； =k3(X3 X2) k2(X2 Xi)、m3X3 = -k3(X3 X2)k4X3自由振动微分方程为m1x1 (k1 k2)x- -k2x2 =0円 m2x2+(k2 +k3)x2 k3x3 = 0)3X3 - k3X2 +(k3 +k4)X3 =0写成矩阵形式为m100m200_k20 1Vk2 +k3-k3X20,_k3k3J3_上式即为系统的振动微分方程。2.令3 m00 1M =04m0x = *1|X21007m-9k-4k0 1IK =-4k5kkx = *x20-k4J1 1X3则振动微分方程可以写作M x Kx = 0令K co 2M =029k -3m，-4k0-4k25k -4m -k0k = 024k 7m国展开得系统的本征方程84m36-405m k2m 2404-107 =0k用MATLA求解该方程得3.广义本征值方程为(K - fM)胃=0 (i =1,2,3)1 =0.6672、k，令=1,解得V m(0.4613 0.8839 1)T，2 = 0.8945X m (-0.9703 -1.6009 1)T 3 =1.8911 k，令(33)= 1 解得 m (48.6668 -21.0338 1)-0.970348.6668-1.6009-21.03380.4613模态矩阵为= 10.8839I 1主振型示意图如下图所示4.用MATLA求主质量和主刚度M M 二 (1)T M (1)3m 000.4613= b.4613 0.8839 1】04m00.8839007m 一.1 一=10.7635mKp1 =严 K (1)9k -4k 00.4613= b.4613 0.8839 1】4k 5k -k0.88390-k 4k1 一=4.7918kM P2 = Q2)TM $=20.0760mKp2 二 $(2)TK $(2) -16.0627k(3)T(3)M P3 = $()M $(8882.1mKp3 = $(3)TK $(3) = 31763k令的各元素除以.Mpi0.14060.26940.3048$N =F-0.2166、-0.3573I 0.22320.5164$N0.2232$N =$N$N广0.14063扃)=0.2694卫.3048,m-0.2166-0.35730.2232JO.。106 丿0.5164-0.22320.0106上式即为简正振型矩阵5.用MATLA求得模态矩阵的逆矩阵为0.12861$ = -0.1450.0.01640.32840.6504 -0.3189 0.3488-0.0095 0.0008,主质量和主刚度为0020.0760008882.1*10.7635M p = $TM $ =0 00031763J4.79180K p=$tK$=016.0627、00主坐标为0.1286xi +0.3284X2 +0.6504X3 x 卩= 0.1450论一0.3189x2 十0.3488x3，0.0164论0.0095x2 +0.0008x3得到用主坐标表示的动力学方程-1kXp +0.4452x=0m吃kxp +0.8001x =0 m 3kxp +3.5761x =0.Pm将原坐标的初始条件化为主坐标的初始条件0.0195、03252、xp(0)=汀Xo = 0.0105 卜xp(0)=界Xo = 0.1744 卩.0000,0.0004,则主坐标表示的系统自由振动规律为sindtxp1 =0.0195cos 讯 0.3252-国1sin o2tXp2 =0.0105cos 吠 0.17445Xp3-0.0004sin 3t转换为实际坐标表示的系统自由振动规律为 为=0.4613xp1 -0.9703xp2 48.6668xp3x2 = 0.8839xp1 -1.6009xp2 -21.0338xp3X3 二 Xp1 - Xp2 - Xp36.系统的动力学方程为M x Kx 二 F si n t其中F = F 0 0Tx =Xsin t,X = (X1 X2)代入上述方程后得到2(K - M)X 二 F计算与主坐标对应的激励力幅值，得到Fp 二F 二 0.4613F-0.9703F48.6668F T列出解耦的主坐标受迫振动方程- 2 2 .XpjjXpj =Bj jSin t(j =1,2,3)其中B1解出其中Sj ：； (j -1,2,3)转换为原坐标的受迫振动规律x1 =0.4613xp1 0.9703xp2 +48.6668xp3X2 = 0.8839xp1 1.6009Xp2 21.0338Xp3、X3 =Xp1 +Xp2 +Xp3,7.作用于系统上的激励力为F (t) = 0 0 Fu(t) T变换为主坐标的激励力为Fp(t)=畀(t)二 Fu(t) Fu(t) Fu(t)TN =0.0963F, BkFp3kp1丘=-0.0604 , B3kkp3kp2.001HksinXpj列出主坐标动力学方程M pXp K pxp = Fp(t)写出各主坐标的响应函数1(j 二 123hpj(t)sin jtM pjdh p(t)=sin - -2tM p1 20脉冲响应矩阵为h(t)珂h(t)：0.2128a +0.9415b +2368.5C=0.4077a +1.5534b 1023.6c0.4077a 1.5534b-1023.6c0.4613a 0.9703b + 48.6668c 10.7813a 2.5629b 442.4c0.8839a -1.6009b-21.0338c04613a 0.9703b+48.6668c0.8839a -1.6009b -21.0338c其中sin 国 1t sin 2ta, b =M pi1 M P2 2tx(t)0h( JF(t- )d.b.4613a -0.9703b +48.6668C t=0 0.8839a-1.6009b-21.0338c Fu(t-叩、a +b +c丿而 t时，u =0;0 ：t时，u =1.Xi(t)0.4613M pi i-0.9703Sin 2M p2 2sin 3i L48.66683 FdM p3% 丿二匸 0.0963 1 cos t 0.0604 1 cos 2t 0.0015 1cos 3t 】 k同理可求得x2（t） = F 0.1845 1 -cos 吐；-0.0997 1 -cos 2t ；-0.0007 1 -cos 3t 1 kX3（t） J0.2087（1 cosct ）+0.0623（1 coscc2t k8. 分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取x1、x2和x3为广义坐标，由牛顿第二定律得x二 _kxk?（x? _x）_cx C2 （X2_ x）m?X2 =-k?（X2- xjk3（X3-X2）- C2（X2- xjc3（X3-x?） mhx3 二七区-X2）-k4X3 -Q（X3 -X2）-C4X3则自由振动微分方程为miXj +（G +c2）Xr C2X2 +（kr +k2）Xr