2.2.3 向量的数乘（第2课时） 一、教学目标：1.知识与技能理解向量共线定理；能利用向量共线定理解决一些简单的几何问题.2.过程与方法： 由具体问题引导学生发现向量共线定理，通过师生共同探究，了解定理的证明方法； 通过典型例题的研究，初步学会用向量共线定理解决简单几何问题. 3.情感态度价值观 经历定理的发现过程，发展独立获取数学知识的能力； 经历定理的证明过程，形成严谨、科学的思维习惯；经历定理的应用过程，激发学习兴趣，培养创新精神.二.教学重点、难点 重点: 向量共线定理的发现与证明.难点: 利用向量共线定理解决一些简单的几何问题.三.学法与教法 学法：自主、合作、探究.教法：问题引领、主体参与、师生互动.四.教学设想 创设情境回顾：上节课我们学习了向量的数乘，知道：实数与向量的积，其结果是一个向量，它的长度和方向是如何规定的？问题1：一般地，设是一个实数，若=，则向量、有着怎样的位置关系？学生活动问题2：反之，若向量、共线，那么是否一定存在一个实数，使得=成立？ 已知，=4，若向量、方向相同，则，即；若向量、方向相反，则，即. 已知，=3，若向量、方向相同，则，即；若向量、方向相反，则，即. 一般地，若向量、共线，则当与同方向时，；当与 反方向时，.特别地，若，则.问题3：在问题2中，这样的实数是否唯一？建构数学1 向量共线定理：一般地，对于两个是、，如果有一个实数，使=，那么与共线；反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使=. 说明：如果=，则称向量可以用非零向量线性表示.2 定理的理解：在定理中，由于规定了，因而实数不仅“存在”而且“唯一”，如果没有条件“”的限制，将会出现怎样的结果？ 在定理中，如果没有条件“”的限制，但=，则结论“与共线”是否成立？向量共线定理包含了几层含义？如果要判断或证明两个向量、共线，你会怎么做？如果已知向量、共线，你又应该怎么做？3 定理的引申：问题4：设、是不共线的两个向量，.向量与是否共线？为什么？三点、是否共线？为什么？向量与是否共线？为什么？ 设、是不共线的两个向量，若，且、三点共线，则实数思考：一般地，设、是不共线的两个向量，、，若，则，；反之，若，但、不全为零，则向量、是否一定共线？数学应用例题：如图1，已知，试判断与是否共线？CCBADCOBAOBAO图3图2图1思考：若将条件“”改为“”，如何证明？变题1：已知在中，、分别在边、上，且，求证：.变题2：如图2，在中，为边的中点，试问：能否用向量、表示向量？思考：若为边上靠近点的一个三等分点，则.变题3：如图3，在中，为直线上一点，则.思考1：如果，点在什么位置？将其结果与变题2进行比照；思考2：如果，点在什么位置？呢？呢？思考3：当与点重合时，满足的是否存在？思考4：在本题中，为何要限定？思考5：设、为平面上任意四点，且存在实数、，使得. 若、三点共线，则实数、应满足什么条件？指出：当、三点共线时，向量可以用两个不共线的向量、线性表示为：. 反之，若实数、满足上述条件，则、三点共线吗？变题4： 如图4，在中，两条中线、交于点，若，你能用、表示出向量吗？图5图4GDEBAOCEEGDEBAO思考1：如图5，若为中点，比较向量、，你有何新的发现？指出：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心，它三等分各条中线.思考2：试用类似的方法求出、，你又发现了什么？思考3：如果为所在平面内一点，且满足：，则是的重心吗？变题5：将上题中的点改为靠近点的一个三等分点，你还能用、表示出向量吗？思考：一般地，如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，是否都可以用、来线性表示呢？如果可以，那么这种表示唯一吗？回顾小结1 本节课我们获得了哪些知识？应注意些什么？2 运用本课知识能够解决哪些问题？3 在本节课的学习过程中，你有哪些收获和感受？布置作业1课本习题2.2第7、8、11、12题；2学习与评价（课课练）第5课时第19题；3选做题：学习与评价（课课练）第5课时第10题.