带电粒子在复合场中运动的轨迹欣赏1一朵梅花例1.如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平 行于轴线的四条狭缝a、b、c和d,外筒的外半径为r,在圆筒之外的足够大区 域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压， 使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+ q的粒子, 从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运 动之后恰好又回到出发点S,则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整 个装置在真空中）解析:如图所示，设粒子进入磁场区的速度大小为V,根据动能定理，有设粒子做匀速圆周运动的半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有:B av =囲R由上面分析可知,要回到S点，粒子从a到d必经过4圆周，所以 半径R必定等于筒的外半径r,即R=r.由以上各式解得2mqB 2 r 2 U =6mXXXXXA耳 X感受美：该粒子运动的轨迹构成了一朵“四只花辨”的鲜艳的油菜花 拓展1:该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“六条 狭缝，当电压 时，粒子经过一段运动后也能回到原出发点。XX感受美：该运动轨迹构成了 “六只花辨”的怒放的梅 花拓展2:该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“ n条狭缝”，当电压U qB 2 r 22man巴时，粒子经过一段运动后也能回到原出发点，并且粒子做匀速 1 n丿圆周运动的半径R = r - tan感受美：粒子的运动轨迹构成了一朵“n只花辨”盛开的鲜花。qB 2 r 2U =盛XXXXX2m拓展3：若圆筒上只在a处有平行于轴线的狭缝，并且粒子与圆筒外壁发生了 n 次无能量损失和电量损失的碰撞后恰能回到原出发点，则加速电压 qB2r2 并且粒子运动的半径 R = r - tanIIn +1 感受美：该运动轨迹也构成了一朵“n只花辨 开的鲜花（右图为五次碰撞的情形）。2 一座“拱桥”例2.如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面的匀强磁场，磁感应强度为B, 在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E, 质量为m,电量为一q的粒 子从坐标原点0沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与0 点的距离为L,求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不计） 解析：画出粒子运动轨迹如图所示，形成拱桥”图形。由题知粒子轨道半径所以由牛顿定律知粒子运动速率为m对粒子进入电场后沿y轴负方向做减速运动的最大路程y由 动能定理知：所以粒子运动的总路程为qBI:16圧3、一个电风扇例3、据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有极高的温度，因而带电粒子 将没有通常意义上的容器可装,而是由磁场约束带电粒子运动将其束缚在某个区 域内，现按下面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域，其截 面内半径为 R m外半径为R2=1。Om,区域内有垂直纸面向里的匀强磁场已知1_丁磁感应强度B=1.0 T,被束缚粒子的荷质比为(1) 若中空区域中的带电粒子沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度V。(2) 若中空区域中的带电粒子以(1)中的最大速度v0沿圆 环半径方向射入磁场，求带电粒子从进入磁场开始到第一次 回到该点所需要的时间t600)解析：设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为G贝!k轨迹如图f由几何关系得 贋眾二匹兰贝lj 匕=竺_=上冥巧/ ? =茁珈1竿=血:厶次Q =筑:m j5故带电粒子逬入磁场绕圆CT转过3600 (1800=2400又回到中空部分.粒子的运动轨迹如图所示，故粒子从P点进入磁场到第一次回到P点时，粒子在磁场中运动时间粒子在中空部分运动时间为粒子运动的总时间为4、一朵葵花例4.据有关资料介绍，受控热核聚变反应装置中有级高的温度，因而带电 粒子将没有通常意义上的容器可装，托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控 核聚变的环形容器，由磁场将高温、高密等离子体约束在有限的范围内，现按下 面的简化条件来讨论这个问题，如图所示，有一个环形区域, 其截面内半径为R严，外半径为R2=(V2-1) a,环形区域内 有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。被磁场围住的中心区域为反应区，反应区内 质量为m，电量为q的带电粒子，若带电粒子由反应区沿各 个不同射入磁场区域，不计带电粒子重力和运动过程中的相 互作用，贝U;1、要求所有带电粒子均不能穿过磁场外界，允许带电粒子速度的最大值Um多大？2、若一带电粒子以上述最大速度从边界上某点沿圆环半径方向垂直射入磁场, 求带电粒子从进入磁场开始到第一次回到出发点所用的时间t。解：(1)由圆周切线方向进入磁场的粒子最易穿越磁场临界时有匚=空如图.(2 ) T出1 * = 一 =忑 -1 况：则 tan2 = l 即每次进入磁场转过圆心角为225口运动时间为225二丁瓏 V 二_2 &厂跌 ADq在反应区内运动一次-y总时间为i = &匚LCLt 氓16 -5、一枚铜钱例5、如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面向里， 边界跟y轴相切于坐标原点0。0点处有一放射源，沿纸面向各个方向射出速率 均为v的某种带电粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半经是圆形磁场区域半 径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。1、推导带电粒子在磁场空间作圆周运动的轨道半径；2、求带电粒子通过磁场空间的最大偏角；3、沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变。若从0点沿x轴正方向射入磁场的粒子速度的已减小为v / 2， 求该粒子第一次回到0点经历的时间。牛解:fl)带电粒子在磁场后，受洛仑磁力作 用，由牛顿第二定律得；防占rbq(2)设粒子飞出和进入磁场的速度方向夹角为则sinf = - x是粒子在磁场中轨迹的两端点的备:赛距离，x最大值为2R o对应的就是的最大值。且2Rp所以(3)当粒子速度减小为Y时，粒子在磁场中作圆周运动的半径为竺2qB故粒子转过四分之一圆周，对应圆心角为9(r时与边界相撞回，由对称性知，粒子经过四个这样的a粒子在磁场中做匀速圆周运动的彎 严瓷过程第一次回到o点，亦即经历时间为一个周期所以从0点沿x轴正方向射出的 粒子第一次回到0点经历的时间 是心泡其轨迹为一枚铜钱Bq6、一滴水珠例6、如图所示,真空中分布着有界的匀强电 p_ 场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场， 二 电场的宽度为L,电场强度为E，磁场的磁感应强度1 都为B,且右边磁场范围足够大.一带正电粒子质 量为m,电荷量为q,从A点由静止释放经电场产加速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后-能按某一路径再返回A点而重复上述过程，不计H 粒子重力，求：(1) 粒子进入磁场的速率v；(2)中间磁场的宽度d(3)求粒子从A点出发到第一次回到A点所经历的时间t。解(1)由动能定理，有：购詁枷得粒子进入磁场的速度为v =(2)粒子进入磁场后做匀速圆周送动 且：氏二竺=2伽辱由几何关系可知： = 30半径都是R,则：中间磁场宽度a =Rg$3QQ=丄(zEgL(3)在电场中务严加卩2在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间心46 3qB则粒子第一次回到0点的所用时间为右 +4 - 2EXr小V.MXX X I1:XXX7、一个美丽的吸顶灯罩例7.如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为R,外圆半径为 R， 磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为B，内圆的磁感应 强度为B/3。t=0时一个质量为m，带一q电量的离子(不计重力)，从内圆上的 A点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场.(1) 求离子速度大小(2) 离子自A点射出后在两个磁场间不断地飞进飞出，从t=0开始经过多长时 间第一次回到A点？(3) 从t=0开始到离子第二次回到A点,离子在内圆磁场中运动的时间共为多少？ 、依题意在外磁场轨迹与外圆相切，如 图由牛顿第二定律:mv2/r1=qvB2分由图中几何关系得：衣“ -11 R得：、2分_SR由以上各式得：.2分 、离子从A出发经c、D第一次回到A 轨迹如图,在内圆的磁场区域：mv2/r2=qvB/3口二仝L二丝二血可得：1分丁 2码 方测周期：1分由几何关系可知：B=n/6Ji =在外磁场区域的周期：:心由几何关系可知：a=4n/3离子ACDA的时间：11拠1分2分宀1分 、从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中共运动6次，时间为t2:6 x K亠 右2分6刚得：匸 1分yb的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和|例8、如图所示，半径分别为a、IKXXXX X X X|x XX磁场，中心0处固定一个半径很小（可忽略）的金属球，在小圆空间内 存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为U，两圆之 间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿+ x轴方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m,电量为q,(不 计粒子重力，忽略粒子初速度)求：(1) 粒子到达小圆周上时的速度为多大？(2) 粒子以(1)中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值 时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值B。(3) 若磁感应强度取(2)中最小值，且b=( + l) a,要粒子恰好第一次沿逸出 方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的 时间。(设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回)解；(1)粒子在电场中加速，根据动定律得：曲丄肿y=厚(2) 粒于进入磁场启，受洛伦驟分周运做匀速圆动，龙會qBv = m 则有要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与r 大圆周相切，如图，则有=b-r 所以一二1 联立解得三捋-(3) 图中tanO=匸二可兰“ 即6=45则粒子在磁场中转过(p=270 ,然后沿半径 进入电场减速到达金属球表面，再经电场加 速原路返回磁场，如此重复恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点口 因为7=帀 粒子在磁场中运动时间为8、一沿抛物线(或直线)上升的气泡例9、如图所示，在xoy的平面内加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的 电场和磁场，变化规律如乙图所示(规定竖直向上为电场强度的正方向，垂直纸 面向里为磁感应强度的正方向)。在t=0时刻,质量为m、电荷量为q的带正电粒 子自坐标原点0处以u=2m/s的速度沿x轴正方向水平射出。已知电场强度，E 磁感应度B二2im，不计粒子重力.求：0 q(1) 1s末