二次函数经典难题（含精解）一选择题（共1小题）1. 顶点为P的抛物线y=x27. 抛物线y=ax+bx+c经过直角 ABC的顶点A （- 1, 0）, B （4, 0）,直角顶点 C在y 轴上，若抛物线的顶点在 ABC的内部（不包括边界），则a的范围是. &已知抛物线 y=x - 6x+a的顶点在x轴上，则a=;若抛物线与x轴有两个交点，贝U a的范围是 .9. 抛物线y=x2- 2x+a2的顶点在直线 y=2上，贝U a=.10. 若抛物线y=x2 - ax+a2的顶点在直线 x=2上，贝V a的值是. - 2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下， 把该抛物线绕 顶点P旋转180。得到一个新的抛物线，且新的抛物线与 y轴相交于点B,则 PAB的面积 为（ ）A . 1B . 2C. 3D . 6二.填空题（共12小题）2. 作抛物线C1关于x轴对称的抛物线 C2,将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线 C的函数解析式是 y=2 （x+1） 2- 1，则抛物线C1所对应的函数解析式 是.3抛物线厂关于原点对称的抛物线解析式为 24. 将抛物线y=x +1的图象绕原点 0旋转180则旋转后的抛物线解析式是 .5. 如图，正方形 ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且 抛物线的顶点在 CD上，若正方形 ABCD边长为10,则正方形EFGH的边长为26. 如果一条抛物线 y=ax +bx+c （aMD）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两 个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的抛物线三角形”在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为 -11. 若抛物线 尸*拮 飞刖2的顶点在x轴上方，则m的值是 _.212. 如图，二次函数y=ax +c图象的顶点为B,若以0B为对角线的正方形 ABCO的另两个 顶点A、C也在该抛物线上，则 a?c的值是 一=_.213. 抛物线y=ax +bx - 1经过点(2, 5),则代数式6a+3b+1的值为.三解答题(共17小题)14. 已知抛物线 C1的解析式是y=2x2- 4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛 物线C2的解析式.15. 将抛物线C1： y= (x+1)2-2绕点P(t，2)旋转180。得到抛物线C2,若抛物线C1 的顶点在抛物线 C2上，同时抛物线 C2的顶点在抛物线 C1上，求抛物线 C2的解析式.2 16. 如图，抛物线 y1=-x +2向右平移1个单位得到抛物线 y2，回答下列问题:(1) 抛物线y2的顶点坐标_ ;(2 )阴影部分的面积 S=;(3)若再将抛物线y2绕原点0旋转180。得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式.217. 已知抛物线 L: y=ax +bx+c (其中a、b、c都不等于0),它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M (0, c).我们称以M为顶点，对称轴是 y轴且过点P的抛物线为抛物线 L的伴随抛物线，直线 PM为L的伴随直线.2(1) 请直接写出抛物线 y=2x - 4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式_ ，伴随直线的解析式_ ;(2) 若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= - x21. 已知：如图，抛物线 y= - x +bx+c经过直线y= - x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D.(1 )求此抛物线的解析式；- 3和y= - x - 3，则这条抛物线的解析式是 ;2(3) 求抛物线L: y=ax +bx+c (其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析 式；(4) 若抛物线L与x轴交于A (xi, 0)、B (X2, 0)两点，X2xi 0,它的伴随抛物线与 x轴交于C、D两点，且AB=CD .请求出a、b、c应满足的条件.218. 设抛物线y=x +2ax+b与x轴有两个不同的交点(1) 将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在 x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移 所得抛物线的解析式；(2) 通过(1)中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新 抛物线的表达式.219. 已知抛物线 C: y=ax +bx+c (av 0)过原点，与 x轴的另一个交点为 B (4，0)，A为 抛物线C的顶点.(1) 如图1,若/ AOB=60 求抛物线C的解析式；(2) 如图2,若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180得到抛物线C, 求抛物线C、C 的解析式；(3) 在(2)的条件下，设 A为抛物线C的顶点，求抛物线 C或C上使得PB=PA 的点P 的坐标.20. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+ 交 x轴正半轴于A ,B两点，交y轴于点C,且/ CBO=60 / CAO=45 求抛物线的解析式和直线BC的解析式.(2) 点M为抛物线上的一个动点，求使得 ABM的面积与 ABD的面积相等的点 M的22. 已知抛物线 1 :工丨一一的顶点为P,与x轴正半轴交于点 B,抛物线C2 与抛物线Ci关于x轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线记为 C3, C3的顶点为 M，当点P、M关于点B成中心对称时，求 C3的解析式.223 如图，抛物线 y=x +bx - c经过直线y=x - 3与坐标轴的两个交点 A , B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为 C,抛物线的顶点为 D.(1 )求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使SApc： Sacd=5 : 4的点P的坐标.24. 已知一抛物线经过 0 (0, 0), B (1, 1)两点，且解析式的二次项系数为-丄(a0).a(I)当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；(n)已知点A (0, 1),若抛物线与射线 AB相交于点M ,与x轴相交于点N (异于原点)， 当a在什么范围内取值时， ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON - BM的值 为常数？(川)若点P (t, t)在抛物线上，则称点 P为抛物线的不动点.将这条抛物线进行平移,使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x-二上，请说明理由.4225. 如图，已知抛物线 Ci： y=a (x+2 ) 27. 如图，抛物线 y=a ( x+1)的顶点为A，与y轴的负半轴交于点 B，且OB=OA .(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点C (- 3, b)在该抛物线上，求 Sabc的值. - 5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A 在点B的左侧)，点B的横坐标是1;(1 )求a的值；(2)如图，抛物线C2与抛物线Ci关于x轴对称，将抛物线 C2向右平移，平移后的抛物线 记为C3,抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点0成中心对称时，求抛物线 C3的解析 式.c; C5226. 如图，抛物线 y=ax +bx+3 经过 A (- 3, 0), B ( - 1, 0)两点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的顶点为 M,直线y= - 2x+9与y轴交于点C,与直线0M交于点D .现将 抛物线平移，保持顶点在直线 0D上.若平移的抛物线与射线 CD (含端点C)只有一个公 共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.2 一28. 如图，抛物线 y=x - 2x+c的顶点A在直线I : y=x - 5上.(1) 求抛物线顶点 A的坐标及c的值；(2) 设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)，试判断 ABD 的形状.29. 如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就 称抛物线m与n为交融抛物线.(1) 已知抛物线 a： y=x2- 2x+1 .判断下列抛物线 b: y=x2 - 2x+2 , c： y= - x2+4x - 3与已 知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；2(2) 在直线y=2上有一动点 P (t, 2),将抛物线 a： y=x - 2x+1绕点P (t, 2)旋转180 得到抛物线I，若抛物线a与I为交融抛物线，求抛物线 I的解析式；(3) M为抛物线a; y=x2- 2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以 MQ为斜边的等腰直角三角形 MQS ,使其直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标； 若不存在，请说明理由；(4) 通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你 提出一个有关交融抛物线的问题.230. 如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点 A、C两点，抛物线y= - x +bx+c 经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当 x=- 时，y取最大值-二.24(1) 求抛物线和直线的解析式；(2) 设点P是直线AC上一点，且Sabp : S bpc=1 : 3，求点P的坐标；(3) 直线y=-x+a与(1)中所求的抛物线交于点M、N，两点，问： 是否存在a的值，使得/ MON=90 ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 猜想当/ MON 90寸，a的取值范围.（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M （xi, yi）, N（X2, y2）,贝U M、N两点之间的距参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1.顶点为P的抛物线y=x2 - 2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下， 把该抛物线绕 顶点P旋转180。得到一个新的抛物线，且新的抛物线与 y轴相交于点B,UA PAB的面积 为（ ）A . 1B . 2C. 3D . 6考点：1二次函数图象与几何变换.分析：根据题目意思，求出 A和B的坐标，再求三角形的面积则可.解答：丿解:当 x=0 时，y=3，所以 A 的坐标是（0, 3） , y=x - 2x+3= （x - 1） +2 ,2 2把它绕顶点P旋转180。得到一个新的抛物线是 y= - （x - 1） +2= - x +2x+1 , x=0时， /=1，所以B的坐标是（0, 1） , P的坐标是（1 , 2）, PAB的面积= 2 X （ 3- 2）=1.故选A.点评：本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力， 难度较大.二.填空题（共12小题）2.作抛物线Ci关于x轴对称的抛物线 C2,将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个 单位，得到的抛物线 C的函数解析式是 y=2 （x+1） 2- 1，则抛物线C1所对应的函数解析式 是 y= - 2 （X- 1） 2+2.考点：二次函数图象与几何变换.点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线Ci所对应的函数表达式.解答：解：根据题意易得抛物线 C的顶点为(-1,- 1),是向左平移2个单位，向上平移 1个单位得到抛物线 C的，抛物线B的坐标为(1 , -