第2讲 两直线的位置关系1已知直线l1：k1xy10与直线l2：k2xy10，那么“k1k2”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.由k1k2，11，得l1l2；由l1l2，知k11k210，所以k1k2.故“k1k2”是“l1l2”的充要条件2(2016石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为()Axy10 Bxy0Cxy10 Dxy0解析：选A.由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ1，所以直线l的斜率k1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y3x2，即xy10.3已知点A(3，2)和B(1，4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A6或 B或1C或 D0或解析：选A.法一：，即|3m5|7m|，解得m6或.法二：当A，B两点在直线同侧，则m，即m；当A，B两点在直线异侧，则A，B的中点在直线上，即m30，即m6.4已知过点A(2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10 B2C0 D8解析：选A.因为l1l2，所以kAB2.解得m8.又因为l2l3，所以(2)1，解得n2，所以mn10.5若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值是()A. B5C. D15解析：选B.由题意得，线段P1P2的中点P的轨迹方程是xy100，因为原点到直线xy100的距离为d5，所以线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值为5.6(2016合肥一模)已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析：选B.因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1，0)，(1，1)为l2上两点，可得l2的方程为x2y10，故选B.7(2016河南省安阳高三调研)已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10.若l1l2，则_；若l1l2，则_解析：法一：当sin 0时，直线l1的斜率k1不存在，l2的斜率k2为0，显然l1不平行于l2；当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此时两直线的斜率相等经检验，k，kZ时，l1与l2不重合故当k，kZ时，l1l2.法二：由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin .又B1C2B2C10，所以1sin 0.即sin 1.所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.答案：k(kZ)k(kZ)8已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：因为l1与l2：xy10平行，所以可设l1的方程为xyb0(b1)又因为l1与l2的距离是，所以，解得b1或b3，即l1的方程为xy10或xy30.答案：xy10或xy309设直线l经过点A(1，1)，则当点B(2，1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为_解析：设点B(2，1)到直线l的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl，所以直线l的方程为y1(x1)，即3x2y50.答案：3x2y5010.在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则|AP|等于_解析：以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0， 0)，则直线BC方程为xy40，设P(t，0)(0t4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4，4t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(t，0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线由P1、P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y(xt)，设ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有，即3t24t0.所以t0或t，因为0t4，所以t，即|AP|.答案：11已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因为l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a2，因为a20，所以b0.又因为a213，所以b6.故b的取值范围是(，6)(6，0(2)因为l1l2，所以(a21)a2b0，显然a0，所以aba，|ab|2，当且仅当a1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.12已知ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解：依题意知，kAC2，A(5，1)，所以lAC为2xy110，联立lAC，lCM得所以C(4，3)设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2xy50，得2x0y010，所以所以B(1，3)，所以kBC，所以直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.1(2016洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排除A、B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行，排除C，故选D.2(2016淮安调研)已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3，4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，解得a1，b0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy603已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P.(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，所以3，解得或2.所以直线l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)所以dmax|PA|.4A，B两个工厂距一条河分别为400 m和100 m，A，B两工厂之间距离500 m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，100)过点B作BCAO于点C.在ABC中，AB500，AC400100300，由勾股定理得BC400，所以B(400，100)点A(0，400)关于x轴的对称点A(0，400)，由两点式得直线AB的方程为yx400.令y0，得x320，即点P(320，0)故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短