北京市2013年网站高考预测系列试题【数学】高考预测试题（2）解答题1. （本题12分）（1）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）直线过（0,1）点与抛物线只有一个公共点，求直线的方程；（3）直线过（1,1）点与双曲线交于两不同点，且的中点为（1,1），求直线的方程。2. （本题12分）已知锐角中内角、的对边分别为、，且.（）求角的值；（）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.3. （本题12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：,， .（）从中任意拿取张卡片，若其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望4. （本题14分）已知等差数列（N+）中,. （1）求数列的通项公式；（2）数列证明： （3）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下: ，,依此类推，第项由相应的中项的和组成。求数列的前项和.答案：1. （本小题满分12分）解:（1）因为,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.解：（2）若直线的斜率不存在，此时恰与抛物线相切，满足题意；若直线的斜率存在，设与抛物线联立得：若直线为：，方程仅有一解（或从图形上分析），满足题意；若中得：，此时直线综上述：满足题意的直线的方程为：，解：（3）法一（韦达定理）若直线斜率不存在显然不合题意；若直线斜率存在，则设与双曲线联立得：。经检验不符合；故直线无解法二（点差）故直线无解2.（本小题满分12分）解：（）因为,由余弦定理知所以2分又因为,则由正弦定理得:，所以所以6分（）由已知,则 8分因为,由于,所以10分所以，根据正弦函数图象,所以12分3（本小题满分12分）解：（）为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数；为偶函数; 为奇函数3分所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为 6分（）可取1，2，3，4 7分，；故的分布列为123410分 的数学期望为12分4、解：（1）由与，解得:或（由于，舍去）设公差为，则 ,解得 所以数列的通项公式为4分（2）下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.。1分 假设当时不等式成立,即成立.。1分则当时,左边=下面证明，即证：，即证：（注：也可以这样比较：要证即证：，平方即可！）。1分所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.。1分（也可以用比较法算出的大小，只需平方一次就能算出！）（3）由题意得: 10分而是首项为,公差为的等差数列的前项的和,所以所以12分所以，所以14分1