第十四讲 从数的二进制谈起在即将进入21 世纪的今天，电子（数字）计算机内部数的存贮和计算采用二进制已是 众所周知的事了.据学者考证，中国在公元前2000 多年的伏羲氏发明的八卦，即用和- 两种符号拼出来的。如果把看成1，把-看成 0，那么上述八卦可以翻译成二进制数（列于下面）。:iw t S m M111 011 101 001 110 010 100 000但是人类历史进程表明，二进制大约被人类冷落了近四千年（在此期间一直重视和使用 十进制），直到20 世纪40 年代，科学技术的整体水平（有了无线电通讯、雷达技术和真空 管、继电器等电子元器件）进一步提高，再加上反法西斯战争需要发明原子弹（原子弹许多 设计数据不能事先在实验室测出，而必须靠理论计算，而计算量超过人类有史以来全部算术 运算），著名数学家冯诺伊曼（J.von Neumann）和另一些年轻数学家发明制成了称之为 ENIAC 的通用电子数字计算机（用18000 支真空管， 1500 个继电器，几十万电阻电容，自重 30吨，耗电200千瓦）直至今日，电子计算机主要还是冯诺伊曼体系.告诉大家这一些 历史，主要说明我们不能停留在为祖先最早发明了二进制而自豪这一步，还要看到数学大有 用武之地，但要与经济建设和科学技术广泛结合才能起大的或巨大的（如电子计算机）作用. 下面看二进制本质到底是什么？人类天生双手十指.“搬着手指头”计数，是每个人幼时必经之路. 十进制数有两大内涵. 一是有十个不同数符：0， 1， 29；二是“逢十进一”的进位法则，有个、十、百、千等自 右向左的数位. 倘若人类双手八指，也许地球上今日该流行八进制了. 所以二进制也有两大内 涵. 一是有两个不同数符：0， 1；二是“逢二进一”. 其实，我们已见过非十进制的事物，一 年十二个月，十二进制；一周七天，七进制；一小时六十分，一分六十秒，六十进制；一英 尺等于十二英寸（电视机常说20 英寸， 21 英寸），十二进制；一副三角尺含2 块，一双鞋 含 2 只，一双袜子含 2 只，一双筷子含2 根，这些都可看成二进制. 一个十进制数 1993 可表 述为：1993 = 1000+900+90+3=1 X 103+9X 102+9X10+3般性地，一个整数讯=弧3也他表述成:N= anan.1-a1a0 = an X 10n + an.x X.IO111 + a3X 103+a2X 102+a1X 10+a0其中0WaiW9，而i是0到n中的一个整数。再回到二进制.大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0 代表什么也没有，有一个 记为“1”；再多一个，记为“10”（在十进制下记为2）；比“10”再多一个，记为“11”. 依次类推，我们很容易接受（或自己发明）二进制下，从小到大的数列，不妨列表：二进制数.011.011.WO.10111Q.：11；10001001101010111100；101十进制数：012345678910111213-为了不引起混淆，我们把二进制数右下角标一个2，如：（10）2=（2）10，或省略括号，省略十进制标记，略为：102=2，或（10）2=2，11112=15和十进制对数位有一省略名字一样，二进制的数位也可称呼N=- b诗炕2 11b3 b8 bT ：b5b4%bi0ttttt t tttttttt81924096：20481024512 ：256 128B43216842位位位位位 位 位位位位位位位位例如：1993 = 1024+512 + 256+128 + 64+8+1,写成二进制为：10 场 7% g % 炕 ； 1993 ） m = :?;11111001001 ）.% b5 S bs 6 S %反过来，（10 110 0 0 =64 + 0 ,：:3g + 1, 16+1 8 +0X4+0X2 + 0X1=（88） 10因而二进制的数化为十进制，只要读出二进制各数位累加即可，如N=（bnbn-1bn-2 b2b1b0） 2 则有 N= （bnX2n+bn-1 X2n-1+bn-2X2n-2+b2X22+b1 X21+b0） 10难度大的是怎样较快地把一个十进制数化为二进制数.还以1993为例，前面的方法是先找出二进制的高位数字，记熟了 2的各种幕次（a的n次幕表示n个a相乘，记为an），找 到不超过1993的最大的2的幕，是210=1024，得b10=1，再找不超过（1993-210）的最大 的2的幕，是29=512，得b9=1，依次类推得b8，b7b2, b1，b0.这是由高位到低位逐渐 推得的方法。现在设法自低位到高位，先找b0.显然，十进制偶数，b0=0,十进制奇数b0=1，所以 b0是N除以2的余数.再说b1,因为N=bnX2n+b2X22+ bT X 21 +b0)所以N 2b =bn：X*-】+%X才+“即同样的理由看岀5是更尹除以3以后的余数，余数为 0， b1 就为 0；余数为 1， b1 就为 1；这样的想法可逐渐向高位推 得出一般性方法.还以1993为例，写出竖式：N=1993, b0为1993宁2的余数，站为1笃切*2的余数。： (1993)10=(11111001001)2以后熟悉了这一算法，我们可很快地化十进制数为二进制数例 如化(19) 10，(101) 10，(81) 10为二进制的竖式为一IO2150 1|25 1112 116 121. 11ITI1 0-0-0 2-18 gT-dJL L2L2222 2(19) 10=(10011) 2；(101) 10=(1100101) 2；(81) 10=(1010001) 2顺便说一句，现在使用电子计算机，直接输入十进制数即可，因为机器内部已专门编有 十)化(二)程序，可以自动转换.面讲一下二进制数的加减乘除四则运算：加法“口诀”特别简单，0+0 = 0, 1 + 0 = 0+1 = 1, 1 + 1=10.表述成运算时的竖式（用 十进制和二进制比较）204819931111100100132+ 蕊+1011000+12081 100000100001.81 ttt20牝位位1位 bn%读者不难体会竖式中进位及累进等与十进制相似的规则.关键之处会“逢二进一”.减法 的关键在于够减就减；不够减时，向高位借，而“借一还二”.（高位借一，相当于低的为 二）. 例如：借出借出11101011100 010010-10-11-11-1 -1-1=T 、；=010101 不够减，向高位借，不够减； 不够减，借 1 还 1 能借，再向更高位借；第三个竖式 和十进制中1007 的思想是一样的。1X 1=1. 看竖式：二进制的乘法口诀只有三句，1X0=0, 0X位上1 = 16b位上1 = 216 +i = 18311X 61107?010010b4 bi二进制除法是乘法逆运算，除法也就是连减. 看竖式十进制中： 二进制中：又如，199388 = 22余57,二进制除法，在试找商时，较省力，要么0要么1。十逬制中:” 2 2-8 8J1 9 9 317 62-3317 657二进制中：101101011000J 11111001001-J：101100010010010T 1011000liioiocT-J-1011000111001商10110= 16 + 4 + 2=-22：余数111001= 32 + 16 + 8 + 1=57二进制数有被电子计算机采用的好处，但人们有时还觉得它表达一个数时，数位太长， 如(1023)10，表成二进制为十位：(1111111111)2，为读写和观察方便，要缩短数位又 便于机器使用，科学家们偏爱于八进制和十六进制.大家可以自己扩充八进制的数的概念和 运算：八进制有0，1，27共八个数符，由低位向高位是“逢八进一”，如:N= (cnc3c2c1c0)8 = cnX 8n+cnT X 8nT+ c2X82+c1 X8+c0其中 0WciW7, i 取 0，1，2n。十进制化八进制:(1993) 10=(3711) 888) 10=(130) 881993-,l=Co3-7=C2尸辻X 8?+7蓬安+1；8+1=3?B-512+7 64+8+18l_gS(130)8=64+3 X S=88(4041) 8 = 4X512 + 4X8+1= 20811993+88=20814 04 1 -3711加法关键在于“逢八进一”。减法：2081-1993=883S-3122,4311231234(4041) 8-(3711) 8=(130) 8，11珂1丿丿畅-)7657 _ -7657 _ -7 657_ -7 6 5 7=5 = 2 1 35 5减法关键在于不够减时，“退一还八”乘法：八进制乘法口诀表重新制定如下八进制:如：十进制：8l2078 Lil2-3 207X19 1863：207八进制乘法：S171155+j 6367535(7535) 8=7X512+5X64+3X8+5=( 3933) 10这些口诀读起来不顺口，如读成“七七得六一”，当然是八进制的六个 8 加上一个 1.同样做除法时，也挺费神，看着“七七乘法表”做可省心些，并不是说除法有什么难度，主 要是脑中的十进制“九九表”干扰了“七七表”的记忆。(7535) 8宁(23) 8=(317) 831725； 7 557 14 3：.：-2 3：25.2 05现在再讲十六进制。大家自然会想到16个数符要设想一套简明的表达符号，国际上通用为0，1，2，8， 9, A,B,C,D, E, F.这里特别请大家记住六个字母：A,B,C,D, E, F.A代表10,(十六进制中比9多一的数)，同理B代表11, C代表12, D代表13, E代表14, F代表15.这 样：N=( dndn-1d2d1d0) 16= dnX16n+dn-lX16n-l+d2X162+dlX16+d0 其中 di 取自 0, 19, A, B, C, D, E, F.i 可取 0， 1n。例如 N=(20A) 16=2X 162+10= (522) 10(AB