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有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点处的切线平分在点处的外角. (椭圆的光学性质)2. 平分在点处的外角,则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. (中位线)3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离. (第二定义)4. 以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. (第二定义)5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.(求导或用联立方程组法)6. 若在椭圆外 ,则过作椭圆的两条切线切点为,则切点弦的直线方程是7. 椭圆 ()的左右焦点分别为,点为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.(余弦定理+面积公式+半角公式)8. 椭圆()的焦半径公式:,( , ,).(第二定义)9. 设过椭圆焦点作直线与椭圆相交两点,为椭圆长轴上一个顶点,连结和分别交相应于焦点的椭圆准线于两点,则.证明:,易得:10. 过椭圆一个焦点的直线与椭圆交于两点,且为椭圆长轴上的顶点,和交于点,和交于点,则.(其实就在准线上,下面证明他在准线上)证明:首先证明准线,和公共点,设,不妨设,由,得交点,由,得,令,则,再根据上一条性质可得结论。11. 是椭圆的不平行于对称轴的弦, 为的中点,则,即。(点差法)12. 若在椭圆内,则被所平分的中点弦的方程是.(点差法)13. 若在椭圆内,则过的弦中点的轨迹方程是.(点差法)二、双曲线1. 点处的切线平分在点处的内角. (同上)2. 平分在点处的内角,则焦点在直线上的射影点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. (同上)3. 以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交. (同上)4. 以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:在右支;外切:在左支) (同上)5. 若在双曲线()上,则过的双曲线的切线方程是:.(同上)6. 若在双曲线()外 ,则过作双曲线的两条切线切点为,则切点弦的直线方程是.(同上)7. 双曲线()的左右焦点分别为,点为双曲线上任意一点:,则双曲线的焦点角形的面积为.(同上)8. 双曲线()的焦半径公式: , 当在右支上时,,.当在左支上时,,(同上)9. 设过双曲线焦点作直线与双曲线相交、两点,为双曲线长轴上一个顶点,连结和分别交相应于焦点的双曲线准线于、两点,则.(同上)10. 过双曲线一个焦点的直线与双曲线交于两点、,且为双曲线实轴上的顶点,和交于点,和交于点,则.(同上)11. 是双曲线(a0,b0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。(同上)12. 若在双曲线()内,则被所平分的中点弦的方程是:.(同上)13. 若在双曲线()内,则过的弦中点的轨迹方程是:.(同上)椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论)椭 圆1. 椭圆的两个顶点为,,与轴平行的直线交椭圆于时,与交点的轨迹方程是.证明:,交点,由,得,又,则2. 过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点,则直线有定向且(常数).证明:3. 若为椭圆上异于长轴端点的任一点,、是焦点, , ,则.证法1(代数) 证法二(几何) 4. 设椭圆的两个焦点为、, (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在中,记, ,,则有.(上条已证)5. 若椭圆的左、右焦点分别为、,左准线为,则当时,可在椭圆上求一点,使得是到对应准线距离与的比例中项.6. 为椭圆上任一点,、是焦点,为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 已知椭圆,O为坐标原点,、为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.证明9. 过椭圆的右焦点作直线交该椭圆右支于两点,弦的垂直平分线交轴于,则.证明10. 已知椭圆,是椭圆上的两点,线段的垂直平分线与轴相交于点, 则.11. 设点是椭圆上异于长轴端点的任一点, 、是焦点,记,则(1) . (2) .12. 设是椭圆的长轴两端点,是椭圆上的一点,, ,,分别是椭圆的半焦距离心率,则有:(1).(2) .(3) .13. 已知椭圆的右准线与轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点,点在右准线上,且轴,则直线经过线段的中点.证明 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.证16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)(角分线定理+合比公式)17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比.(角分线定理)18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. (角分线定理)双曲线1. 双曲线()的两个顶点为,,与轴平行的直线交双曲线于时,与交点的轨迹方程是.2. 过双曲线()上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点,则直线有定向且(常数).3. 若为双曲线()右(或左)支上除顶点外的任一点, 、是焦点, , ,则(或).4. 设双曲线()的两个焦点为、, (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在中,记, ,,则有:.5. 若双曲线()的左、右焦点分别为、,左准线为,则当时,可在双曲线上求一点,使得是到对应准线距离与的比例中项.6. 为双曲线()上任一点, 、是焦点,为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在轴同侧时,等号成立.7. 双曲线()与直线有公共点的充要条件是:.8. 已知双曲线(ba 0),为坐标原点,、为双曲线上两动点,且.(1);(2)的最小值为;(3)的最小值是.9. 过双曲线()的右焦点作直线交该双曲线的右支于两点,弦的垂直平分线交轴于,则.10. 已知双曲线(),是双曲线上的两点,线段的垂直平分线与轴相交于点, 则或.11. 设点是双曲线()上异于实轴端点的任一点, 、是焦点,记,则:(1).(2) .12. 设是双曲线()的长轴两端点,是双曲线上的一点,, ,,分别是双曲线的半焦距离心率,则有:(1).(2) .(3) .13. 已知双曲线()的右准线与轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点,点在右准线上,且轴,则直线经过线段的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(同上)(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).(同上)16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 (离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.19. 已知椭圆上一点,以直线与椭圆交于两点,恒有,则直线横过证明19. 已知椭圆,不再椭圆上的一点,过做倾斜角互补的两直线,与椭圆交于四点,则四点共圆证明其他常用公式:1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式:2、直线的一般式方程:任何直线均可写成 (不同时为0)的形式。3、知直线横截距,常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线),与直线垂直的直线可表示为。4、两平行线,间的距离为。5、若直线与直线平行,则(斜率)且(在轴上截距) (充要条件)6、圆的一般方程:,特别提醒:只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是,且,且。7、圆的参数方程:(为参数),其中圆心为,半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元:,;,();8、为直径端点的圆方程;切线长:过圆()外一点引圆的切线的长为:()9、弦长问题:圆的弦长的计算:常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解:;过两圆、交点的圆(公共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程.。抛物线焦点弦性质总结30条1. 以为直径的圆与准线相切;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7.;8. 三点共线;9. 三点共线;10. ;11.(定值);12. ;13. 垂直平分;14. 垂直平分;15. ;16. ;17.;18. ;19.;20. ;21. .22. 切线方程 23、是抛物线焦点弦,是的中点,是抛物线的准线,过的切线相交于,与抛物线交于点则有结论6 结论7 结论8 平分结论9 平分,平分结论10 结论11 二)非焦点弦与切线思考:当弦不过焦点,切线交于点时,也有与上述结论类似结果:结论12 ,结论13 平分,同理平分结论14 结论15 点平分结论16
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