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课时跟踪检测(五) 正弦定理、余弦定理的应用层级一学业水平达标1若水平面上点B在点A南偏东30方向上,在点A处测得点B的方位角是()A60B120C150 D210解析:选C方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角如图所示,点B的方位角是18030150.故选C.2A,B两点在河的两岸,为测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离是100 m,BAC60,ACB30,则A,B两点间的距离是()A40 mB50 mC60 m D70 m解析:选B由已知得到示意图如图,已知AC100 m,BAC60,ACB30,所以ABC90,所以ABAC50 m,故选B.3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45和30,已知CD200 m,点C位于BD上,则山高AB等于()A100 mB50(1)mC100(1)m D200 m解析:选C设ABx m,在RtACB中,ACB45,BCABx m.在RtABD中,D30,BDx,BDBCCD,xx200,解得x100(1)4一船沿北偏西45方向航行,看见正东方向有两个灯塔A,B,AB10 n mile,航行 h后,看见一灯塔在其南偏东60方向上,另一灯塔在其南偏东75方向上,则这艘船的速度是()A5 n mile/hB5 n mile/hC10 n mile/h D10 n mile/h解析:选D如图所示,由题意知COA135,ACOACBABC15,OAC30,AB10,AC10.在AOC中,由正弦定理可得,OC5,v10,这艘船的速度是10 n mile/h,故选D.5.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30方向上且相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos 等于()A. B.C. D.解析:选B如图所示,在ABC中,CAB9030120,AC20 n mile,AB40 n mile.由余弦定理,得BC220240222040cos 1202 800,所以BC20 n mile.过C作CDAB交BA的延长线于D.在ACD中,ACD30,AC20 n mile,所以CD10 n mile.所以cos cos DCB.6一船以22 km/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45,1小时30分后航行到B处,在B处看灯塔S在船的南偏东15,则灯塔S与B之间的距离为_km.解析:如图,ASB1801545120,AB2233,由正弦定理,得,SB66(km)答案:667.一角槽的横断面如图所示,四边形ABED是矩形,已知DAC50,CBE70,AC90,BC150,则DE_.解析:由题意知ACB120,在ACB中,由余弦定理,得AB2AC2BC22ACBCcosACB902150229015044 100.AB210,DE210.答案:2108线段AB外有一点C,ABC60,AB200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始_ h后,两车的距离最小解析:如图所示,设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD80t,BE50t.因为AB200,所以BD20080t,问题就是求DE最小时t的值由余弦定理:DE2BD2BE22BDBEcos 60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t时,DE最小答案:9某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60相距20(1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)h后开始持续影响基地2 h求台风移动的方向解:如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一直线上,且AD20,AC20.由题意AB20(1),DC20,BC(1)1010()在ADC中,因为DC2AD2AC2,所以DAC90,ADC45.在ABC中,由余弦定理得cosBAC.所以BAC30,又因为B位于A南偏东60,603090180,所以点D位于A的正北方向,又因为ADC45,所以台风移动的方向为北偏西45.10.如图,测量人员沿直线MNP的方向测量,测得塔顶A的仰角分别是AMB30,ANB45,APB60,且MNPN500 m,求塔高AB.解:设ABx,AB垂直于地面,ABM,ABN,ABP均为直角三角形BMx,BNx.BPx.在MNB中,由余弦定理BM2MN2BN22MNBNcosMNB,在PNB中,由余弦定理BP2NP2BN22NPBNcosPNB,又MNB与PNB互补,MNNP500,3x2250 000x22500xcosMNB,x2250 000x22500xcosPNB,得x2500 0002x2,x250或x250(舍去)所以塔高为250 m.层级二应试能力达标1若点A在点C的北偏东30方向上,点B在点C的南偏东60方向上,且ACBC,则点A在点B的()A北偏东15方向上B北偏西15方向上C北偏东10方向上 D北偏西10方向上解析:选B如图所示,ACB90.又 ACBC,CBA45.30,90453015.点A在点B的北偏西15方向上2.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m,吊杆AC15 m,吊索AB5 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A30 m B. mC15 m D45 m解析:选B在ABC中,AC15 m,AB5 m,BC10 m,由余弦定理得cosACB,sinACB.又ACBACD180,sinACDsinACB.在RtADC中,ADACsinACD15 m.3某海轮以30 n mile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在其南偏东60方向上;海轮向北航行40 min后到达点B,测得油井P在其南偏东30方向上;海轮改为北偏东60的航向再行驶80 min到达点C,则P,C两点的距离为()A20 n mile B. n mileC20 n mile D. n mile解析:选A如图,过点P作AB的垂线,垂足为点E.由题意得APBABP30,APAB3020(n mile)在RtPAE中,PEAPsin 6010(n mile);在RtPBE中,PB20(n mile)由已知可得PBC90,BC3040(n mile),在RtPBC中,PC20(n mile)4一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行 h后,看见一灯塔在船的南偏西60方向,另一灯塔在船的南偏西75方向,则这只船的速度是_ n mile/h.解析:如图,依题意有BAC60,BAD75,所以CADCDA15,从而CDCA10,在直角三角形ABC中,可得AB5,于是这只船的速度是10 n mile/h.答案:105.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角CAB45,沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角DSB75,则山高BC为_ m.解析:SAB453015,SBAABCSBC45(9075)30,在ABS中,AB1 000,BCABsin 451 0001 000(m)答案:1 0006如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是_ m.解析:由题意知,在RtADC中,C30,AD60 m,AC120 m在ABC中,BAC753045,ABC18075105,由正弦定理,得BC120(1)(m)答案:120(1)7.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解:如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC14x,BC10x,ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120,解得x2.故AC28,BC20.根据正弦定理得,解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角的正弦值为.8已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2,BC6,CDDA4,求四边形ABCD的面积解:如图所示,连接BD,则四边形ABCD的面积为:SSABDSBCDABADsin ABCCDsin C.因为AC180,所以sin Asin C,所以S(ABADBCCD)sin A(2464)sin A16sin A.在ABD中,由余弦定理,得BD2AB2AD22ABADcos A2242224cos A2016cos A.在CDB中,BD2CB2CD22CBCDcos C6242264cos C5248cos C.所以2016cos A5248cos C.因为cos Ccos A,所以64cos A32,所以cos A,所以A120,所以S16sin 1208.
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